Ответ:

Для рівностороннього трикутника довжина сторони дорівнює діаметру вписаного кола. Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, дорівнює стороні трикутника.

Позначимо сторону трикутника як а, тоді його периметр дорівнюватиме P = 3a.

Відомо, що точки дотику розміщені на відстані r від вершин трикутника, де r - радіус вписаного кола. Тобто, МВ = KN = r.

Також, за теоремою Піфагора, АМ = АN = sqrt(3)/2 * a.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику МВК знаходимо КВ = sqrt(7)/2 * r.

Оскільки КВ = а - 2r, маємо рівняння:

sqrt(7)/2 * r = a - 2r

Звідси знаходимо:

r = a / (2 + sqrt(7)/2)

За умовою, МВ = 2.5 см, тому r = 2.5 см.

Підставляємо знайдене значення r у вираз для периметра P = 3a:

P = 3a = 3 * (2 + sqrt(7)/2) * r = 3 * (2 + sqrt(7)/2) * 2.5 ≈ 22.54

Отже, периметр трикутника АВС становить близько 22.54 (без одиниць виміру).