Находить уравнения прямых, которым принадлежат медианы треугольника, будем, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки [tex](x_1;\ y_1)[/tex] и [tex](x_2;\ y_2)[/tex]:

[tex]\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}[/tex]

В качестве первой точки будем брать вершину треугольника, а в качестве второй точки - середину противоположной стороны. Поскольку координаты середин сторон неизвестны, то найдем их.

Координаты середины отрезка, соединяющего точки [tex](x_1;\ y_1)[/tex] и [tex](x_2;\ y_2)[/tex] определяются по формулам:

[tex]x=\dfrac{x_1+x_2}{2} ;\ y=\dfrac{y_1+y_2}{2}[/tex]

Середина отрезка MN:

[tex]K_1\left(\dfrac{-4+2}{2} ;\ \dfrac{2+6}{2} \right)\Rightarrow K_1\left(-1 ;\ 4\right)[/tex]

Середина отрезка NK:

[tex]M_1\left(\dfrac{2+8}{2} ;\ \dfrac{6+(-4)}{2} \right)\Rightarrow M_1\left(5 ;\ 1\right)[/tex]

Середина отрезка MK:

[tex]N_1\left(\dfrac{-4+8}{2} ;\ \dfrac{2+(-4)}{2} \right)\Rightarrow N_1\left(2 ;\ -1\right)[/tex]

Составляем уравнения прямых, которым принадлежат медианы треугольника.

Уравнение прямой MM₁:

[tex]\dfrac{y-2}{1-2} =\dfrac{x-(-4)}{5-(-4)}[/tex]

[tex]\dfrac{y-2}{-1} =\dfrac{x+4}{5+4}[/tex]

[tex]y-2=-\dfrac{x+4}{9}[/tex]

[tex]y=2-\dfrac{x}{9}-\dfrac{4}{9}[/tex]

[tex]\boxed{y=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{14}{9} }[/tex]

Уравнение прямой NN₁:

[tex]\dfrac{y-6}{-1-6} =\dfrac{x-2}{2-2}[/tex]

[tex]\dfrac{y-6}{-7} =\dfrac{x-2}{0}[/tex]

0 в знаменателе подразумевает не деление на 0, а скорее пропорциональность, в данном случае - указывает на то, что коэффициент при "у" в уравнении равен 0:

[tex]x-2=\dfrac{y-6}{-7} \cdot 0[/tex]

[tex]x-2=0[/tex]

[tex]\boxed{x=2}[/tex]

Уравнение прямой KK₁:

[tex]\dfrac{y-(-4)}{4-(-4)} =\dfrac{x-8}{-1-8}[/tex]

[tex]\dfrac{y+4}{4+4} =\dfrac{x-8}{-9}[/tex]

[tex]\dfrac{y+4}{8} =-\dfrac{x}{9}+\dfrac{8}{9}[/tex]

[tex]y+4 =-\dfrac{8x}{9}+\dfrac{64}{9}[/tex]

[tex]y =-\dfrac{8x}{9}+\dfrac{64}{9} -4[/tex]

[tex]\boxed{y =-\dfrac{8x}{9}+\dfrac{28}{9}}[/tex]

Находить уравнения прямых, которым принадлежат высоты треугольника, будем, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку [tex](x_0;\ y_0)[/tex] с заданным угловым коэффициентом [tex]k[/tex]:

[tex]y-y_0=k(x-x_0)[/tex]

Высота перпендикулярна стороне треугольника, поэтому угловые коэффициенты соответствующих уравнений должны быть связаны соотношением:

[tex]k_\perp=-\dfrac{1}{k}[/tex]

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки [tex](x_1;\ y_1)[/tex] и [tex](x_2;\ y_2)[/tex], определяется по формуле:

[tex]k =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/tex]

Определим угловые коэффициенты уравнений прямых, которым принадлежат стороны треугольника, а затем определим угловые коэффициенты уравнений прямых, которым принадлежат высоты:

Для стороны MN:

[tex]k=\dfrac{6-2}{2-(-4)} =\dfrac{4}{2+4} =\dfrac{4}{6} =\dfrac{2}{3}[/tex]

Тогда, угловой коэффициент уравнения прямой, которой принадлежит высота KK₂:

[tex]k_\perp=-\dfrac{3}{2}[/tex]

Для стороны NK:

[tex]k=\dfrac{-4-6}{8-2} =\dfrac{-10}{6} =-\dfrac{5}{3}[/tex]

Тогда, угловой коэффициент уравнения прямой, которой принадлежит высота MM₂:

[tex]k_\perp=\dfrac{3}{5}[/tex]

Уравнение стороны MK:

[tex]k=\dfrac{-4-2}{8-(-4)} =\dfrac{-6}{8+4} =\dfrac{-6}{12} =-\dfrac{1}{2}[/tex]

Тогда, угловой коэффициент уравнения прямой, которой принадлежит высота NN₂:

[tex]k_\perp=2[/tex]

Составляем уравнения прямых, которым принадлежат высоты треугольника.

Уравнение прямой MM₂:

[tex]y-2=\dfrac{3}{5} \big(x-(-4)\big)[/tex]

[tex]y=\dfrac{3}{5} (x+4)+2[/tex]

[tex]y=\dfrac{3x}{5} +\dfrac{12}{5} +2[/tex]

[tex]\boxed{y=\dfrac{3x}{5} +\dfrac{22}{5}}[/tex]

Уравнение прямой NN₂:

[tex]y-6=2(x-2)[/tex]

[tex]y=2x-4+6[/tex]

[tex]\boxed{y=2x+2}[/tex]

Уравнение прямой KK₂:

[tex]y-(-4)=-\dfrac{3}{2} (x-8)[/tex]

[tex]y+4=-\dfrac{3x}{2}+12[/tex]

[tex]y=-\dfrac{3x}{2} +12-4[/tex]

[tex]\boxed{y=-\dfrac{3x}{2} +8}[/tex]