1.х>0 тогда х^2-7x+6<=0 D=49-4*6=25 x1=(7+5)/2=6 x2=(7-5)/2=1 _____1______6_______ + - + 1<=X<=6 x<0 x^2+7x+6<=0 D=49-4*6=25 x1=(-7+5)/2=-1 x2=(-7-5)/2=-6 ___-6______-1_____ + - + -6<=x<=-1 общее решение x=[-6,-1] u [1,6]
2. это уравнение параболы с ветвями вниз, находим вершину x0=-b/2a=-1 из -2 и 2 дальше 2 от вершины, поэтому находим у(2)=1-4-4=-7 это и есть мин на данном интервале
Раскрываем модуль. а) при x ≥ 0 имеем x^2 - 7x + 6 ≤ 0 В нуль выражение обращается при x = 1 и x = 6. Определяется как обычно, через дискриминант, как если бы решали уравнение: D = (-7)^2 - 4*1*6 = 25. x1,2 = (7 ± √25)/2 Выражение не больше нуля при x ∈ [1; 6], что проверяется простой подстановкой значений вне и внутри интервала. б) при x ≤ 0 имеем x^2 + 7x + 6 ≤ 0 В нуль выражение обращается при x = -1 и x = -6. Определяется аналогично предыдущему случаю. Выражение не менее нуля при x ∈ [-6; -1]. Тоже легко проверить подстановкой, допустим, при x = 0 (вне интервала) выражение больше нуля, а при x = -2 (внутри интервала) выражение меньше нуля. Итак, объединяем решения: x ∈ [-6; -1] ∪ [1; 6]
2. y = 1 -2x -x^2 Проведём анализ на экстремум (минимум), для чего надо взять производную, приравнять её нулю и решить. y' = -2 - 2x = 0, откуда x = -1. В этой точке производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это локальный максимум. Теперь надо проверить значения на концах интервала. y(-2) = 1 - 2*(-2) - (-2)^2 = 1 y(2) = 1 - 2*2 - 2^2 = -7 Итак, на интервале [-2; 2] наименьшее значение функции y=-7 в точке x=2. Можно было рассуждать по-другому. Т.к. задана парабола, причём её ветви направлены вниз. Значит, вершина параболы есть максимум. Если найти абсциссу вершины по формуле x0 = -b/2a = -(-2)/(2*(-1)) = -1. Точка попадает в заданный интервал, в точке максимум, значит, на одном из концов интервале будет минимальное значение. Значения на концах интервала найдено ранее. Так и так получается, максимум в точке x=-1, а минимальное значение функции на интервале [-2; 2] равно y = -7.
Answers & Comments
Verified answer
1.х>0тогда х^2-7x+6<=0
D=49-4*6=25
x1=(7+5)/2=6
x2=(7-5)/2=1
_____1______6_______
+ - + 1<=X<=6
x<0
x^2+7x+6<=0
D=49-4*6=25
x1=(-7+5)/2=-1
x2=(-7-5)/2=-6
___-6______-1_____
+ - + -6<=x<=-1
общее решение x=[-6,-1] u [1,6]
2. это уравнение параболы с ветвями вниз, находим вершину
x0=-b/2a=-1
из -2 и 2 дальше 2 от вершины, поэтому находим
у(2)=1-4-4=-7 это и есть мин на данном интервале
Verified answer
Раскрываем модуль.а) при x ≥ 0 имеем x^2 - 7x + 6 ≤ 0
В нуль выражение обращается при x = 1 и x = 6. Определяется как обычно, через дискриминант, как если бы решали уравнение:
D = (-7)^2 - 4*1*6 = 25.
x1,2 = (7 ± √25)/2
Выражение не больше нуля при x ∈ [1; 6], что проверяется простой подстановкой значений вне и внутри интервала.
б) при x ≤ 0 имеем x^2 + 7x + 6 ≤ 0
В нуль выражение обращается при x = -1 и x = -6. Определяется аналогично предыдущему случаю.
Выражение не менее нуля при x ∈ [-6; -1]. Тоже легко проверить подстановкой, допустим, при x = 0 (вне интервала) выражение больше нуля, а при x = -2 (внутри интервала) выражение меньше нуля.
Итак, объединяем решения: x ∈ [-6; -1] ∪ [1; 6]
2. y = 1 -2x -x^2
Проведём анализ на экстремум (минимум), для чего надо взять производную, приравнять её нулю и решить.
y' = -2 - 2x = 0, откуда x = -1. В этой точке производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это локальный максимум.
Теперь надо проверить значения на концах интервала.
y(-2) = 1 - 2*(-2) - (-2)^2 = 1
y(2) = 1 - 2*2 - 2^2 = -7
Итак, на интервале [-2; 2] наименьшее значение функции y=-7 в точке x=2.
Можно было рассуждать по-другому. Т.к. задана парабола, причём её ветви направлены вниз. Значит, вершина параболы есть максимум.
Если найти абсциссу вершины по формуле
x0 = -b/2a = -(-2)/(2*(-1)) = -1. Точка попадает в заданный интервал, в точке максимум, значит, на одном из концов интервале будет минимальное значение. Значения на концах интервала найдено ранее.
Так и так получается, максимум в точке x=-1, а минимальное значение функции на интервале [-2; 2] равно y = -7.