с именем - существительное, т.к.:
1. обозначает предмет (с чем?)
2. Начальная форма: имя (им.п., ед.ч.)
3. Постоянные признаки: нарицательное, неодушевленное, II склонения, среднего рода.
4. Непостоянные признаки: в ед.ч., в тв. п.
5. в предложении является дополнением (- - - -) 

(С) именем-сущ.

1.(с чем?) с именем.

   Н.Ф.-имя.

2.П.п-нариц.,неодуш.,с.р.,2-е.скл.;Н.п-Творит.подеж.,ед.ч.

3.(с чем?) с именем(дополнение).

Мамы(подлеж.,сущ.) получат(сказуемое,гл.) их(мест.), улыбнутся(сказуемое,гл.), и сразу(------) повсюду(наречие) наступит(сказуемое,гл.) лето(подлеж.,сущ.). (повеств.,не воскл.,сложное,распр.,ослож. однород. чл.)

желаю удачи!!!!!!!!!!!!!!!=))))))))))))))))))))))