В начале найдем ОДЗ неравенства

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства:

Для нахождения ОДЗ разложим квадратный трехчлен х² + 7x + 12 на множители

решив уравнение

                     х² + 7x + 12 = 0

   D = 7² - 4*12*1 = 49 - 48 = 1

  x₁ = (-7 - 1)/2 = -8/2 = -4

  x₂ = (-7 + 1)/2 = -6/2 = -3

Следовательно можно записать что  

                      х² + 7x + 12 = (х + 3)(х + 4)

Еще раз запишем систему для нахождения ОДЗ

Решаем ее

Первое неравенство решим по методу интервалов

                            x(x + 6) ≤ 0

Определяем точки где множители меняют свой знак

                            х = 0         х + 6 = 0 <=> x = -6

На числовой прямой отображаем эти точки и по методу подстановки определяем знак в левой части  

неравенства. Например при х=1 х(х + 6) > 0

           +            0       -       0    +

          -------------|---------------|--------

                        -6               0

Поэтому решением неравенства x(x+6)<=0 будут являтся все значения х ∈[-6;0]

Учитывая что х ≠ -4 и х ≠ -3 запишем область ОДЗ х∈[-6;-4)U(-4;-3)U(-3;0]

Основное решение.

Считаем, что значение квадратного корня в ОДЗ всегда больше нуля.

Следовательно достаточно найти решение неравенства

Используем предыдущее разложение квадратного трехчлена в знаменателе второй дроби

В числителе разность двух квадратов запишем как произведение суммы на разность

              а²2 - b²= (a - b)(a + b)

Решаем неравенство по методу интервалов

Точки где числитель и знаменатель меняют свой знак            

           х = -5    х = -4

На числовой прямой отображаем эти точки и по методу подстановки определяем знак в левой части  

неравенства. Например при х=1 (х+5)/(х+4)>0

           +            0       -                +

         -------------|---------------0--------

                        -5               4

Решение данного неравенства являются все значения                  x∈(-∞;-5]U(-4;+∞)

Учитывая область ОДЗ окончательно можно записать, что решением исходного

неравенства являются все значения х∈[-6;-5]U(-4;-3)U(-3;0]

Ответ: х∈[-6;-5]U(-4;-3)U(-3;0]