Ответ: 925

Пошаговое объяснение:

Предположим, что [tex]n[/tex] имеет более двух простых делителей([tex]3[/tex] и более), но тогда из комбинаторный соображений, количество его делителей будет не менее чем [tex]2^3 = 8[/tex], что нас не устраивает.

Рассмотрим теперь самый тривиальный вариант, у данного числа ровно один простой делитель, но тогда само данное число

[tex]n = p ^{5}[/tex], где [tex]p[/tex] - простое число. Тут расстановка делителей в порядке возрастания трудности не представляет, ибо данное число является простым натуральным, то есть:

[tex]1 < p < p^2 < p^3 < p^4 < p^5[/tex]

Откуда по условию:

[tex]p^2 = 5p\\p = 5\\p^3 - p^2 = 100\neq 12[/tex]

Как видим, этот вариант нам не подходит.

Остается рассмотреть основной вариант, когда данное число имеет два простых делителя, тогда [tex]6[/tex] делителей у данного числа будет только если оно представимо в виде: [tex]n = p_{1} *p_{2} ^2[/tex] (тут [tex]p_{1},p_{2}[/tex] простые числа), действительно, тогда из комбинаторных соображений число его делителей будет равно: [tex](1+1)*(2+1) = 6[/tex], также стоит заметить, что [tex]6[/tex] можно представить единственным способом в виде произведения не равных единице натуральных множителей: [tex]6 = 2*3[/tex]

Распишем все возможные делители данного числа [tex]n[/tex] (не в порядке возрастания):

[tex]1,p_{1},p_{2},p_{2}^2,p_{1}* p_{2},p_{1}*p_{2}^2[/tex]

По условию третий делитель в [tex]5[/tex] раз больше второго, то есть третий делитель не является простым, причем [tex]1[/tex] разумеется первый делитель, а [tex]p_{1}*p_{2}^2[/tex] последний делитель.

Тогда для третьего по порядку делителя остается [tex]2[/tex] варианта: [tex]p_{1}*p_{2}, p_{2}^2[/tex]

Вторым  делителем может быть одно из чисел (в зависимости от того какое из них больше): [tex]p_{1},p_{2}[/tex].  Пусть [tex]p_{1} < p_{2}[/tex], тогда [tex]5[/tex]-й по счету делитель будет [tex]p_{2}^2[/tex], но тогда [tex]3[/tex]-й по счету делитель будет [tex]p_{1} *p_{2}[/tex],  [tex]2[/tex]-м по счету будет [tex]p_{1}[/tex], наконец, [tex]4[/tex]-м делителем должно быть число [tex]p_{2}[/tex], что невозможно, ибо [tex]p_{2} < p_{1}*p_{2}[/tex]. Как видим, такой вариант невозможен, тогда рассматриваем: [tex]p_{1} > p_{2}[/tex].

Тут [tex]5[/tex]-й делитель это [tex]p_{1} *p_{2}[/tex], тогда [tex]3[/tex]-м по счету должен быть делитель [tex]p_{2} ^2[/tex], вторым же по счету будет делитель [tex]p_{2}[/tex], наконец, [tex]4[/tex]-м делителем будет [tex]p_{1}[/tex].

Откуда получаем:

[tex]p_{2}^2 = 5p_{2}\\p_{2}=5\\p_{1}-p_{2}^2 = 12\\p_{1} = 12 + 5^2 = 37[/tex]

Как видим, данное число единственное и равно:

[tex]n = 37*5^2 = 925[/tex]