На дошці написано натуральні числа n > m. Сашко розділив n на m з остачею та отримав неповну частку q1 і остачу r1. Надійка розділила n -1 на m з остачею та отримала неповну частку q2 і остачу r2. Виявилося, що q1 +q2=r1+r2. Доведіть, що число 2n е квадратом натурального числа
Answers & Comments
Ответ:
Для доведення цього твердження розглянемо дані та виконаємо обчислення.
Спершу розділимо n на m з остачею:
n = mq1 + r1
Тепер розділимо (n - 1) на m з остачею:
n - 1 = mq2 + r2
За умовою задачі, нам відомо, що q1 + q2 = r1 + r2.
Ми можемо виразити n з цих рівнянь:
n = mq1 + r1
Тепер додамо 1 до обох боків другого рівняння:
n - 1 + 1 = mq2 + r2 + 1
n = mq2 + (r2 + 1)
Тепер ми маємо вираз для n в термінах q2 та r2.
Зараз ми можемо розглянути число 2n:
2n = 2(mq2 + (r2 + 1)) = 2mq2 + 2(r2 + 1)
2n = 2mq2 + 2r2 + 2
2n = 2(mq2 + r2) + 2
2n = 2(q1 + q2) + 2
2n = 2(q1 + q2)
2n = 2(q1 + q2)
Тепер ми бачимо, що 2n є добутком числа 2 та суми q1 та q2. Ми знаємо, що q1 + q2 = r1 + r2, тобто 2n = 2(r1 + r2).
Таким чином, 2n є добутком числа 2 та деякого натурального числа (r1 + r2), тобто 2n є квадратом натурального числа.
Пошаговое объяснение: