Щоб знайти периметр трикутника АВС, нам потрібно знайти довжини всіх його сторін.

Оскільки трикутник описаний навколо кола, точка К є точкою дотику кола до сторони АВ. За теоремою про дотичну до кола, дотична, проведена до кола, є перпендикулярною до радіуса, що його перетинає. Тому сторона АК є перпендикулярною до сторони ВК, і ми можемо використати цю властивість для знаходження довжини сторони АК.

За теоремою Піфагора, ми можемо записати:

АС² = АК² + КС²,

де АС = 12 см (за умовою), КС = ВК = 4 см (за умовою). Замінюючи відомі значення, отримуємо:

12² = АК² + 4².

144 = АК² + 16.

АК² = 144 - 16.

АК² = 128.

АК = √128.

АК = 8√2.

Тепер, коли ми знаємо довжину сторони АК, можемо знайти довжини сторін АС і СВ. Оскільки АК є перпендикулярною до сторони АВ, ми можемо поділити сторону АВ на дві частини, АК і КВ, і використати пропорцію між довжинами сторін трикутника:

АС/АК = АВ/КВ.

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

12/8√2 = АВ/4.

Знаходячи АВ, отримуємо:

АВ = (12/8√2) * 4.

АВ = 3√2 * 4.

АВ = 12√2.

Тепер ми можемо знайти периметр трикутника АВС, склавши довжини всіх його сторін:

Периметр = АВ + АК + КС.

Периметр = 12√2 + 8√2 + 4.

Периметр = 20√2 + 4.

Отже, периметр трикутника АВС дорівнює 20√2 + 4.