Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.
Если два числа оканчиваются на одну и ту же цифру, то их разность оканчивается на 0.
Таким образом, нам нужно доказать, что числа [tex]n[/tex] и [tex]n^5[/tex] оканчиваются на одну и ту же цифру.
Для этого рассмотрим все возможные последние цифры числа [tex]n[/tex] и найдем соответствующие последние цифры числа [tex]n^5[/tex].
Для небольших чисел можно обойтись непосредственным вычислением:
[tex]n=0\Rightarrow n^5=0^5=0[/tex]
[tex]n=1\Rightarrow n^5=1^5=1[/tex]
[tex]n=2\Rightarrow n^5=2^5=32[/tex]
[tex]n=3\Rightarrow n^5=3^5=243[/tex]
[tex]n=4\Rightarrow n^5=4^5=2^{10}=1024[/tex]
Для чисел 5 и 6 воспользуется тем, что 5 в любой степени оканчивается на 5 и 6 в любой степени оканчивается на 6 в силу равенств [tex]5\cdot5=25;\ 6\cdot6=36[/tex]:
[tex]n=5\Rightarrow n^5=5^5=\ldots5[/tex]
[tex]n=6\Rightarrow n^5=6^5=\ldots6[/tex]
Для остальных чисел по ходу вычислений будем только последние цифры промежуточных результатов:
Таким образом, числа [tex]n^5[/tex] и [tex]n[/tex] всегда оканчиваются на одну и ту же цифру, а значит их разность оканчивается на 0, а значит делится на 10.
2. n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n²-1)(n²+1) = n (n - 1)(n + 1)(n² + 1) = = (n - 1)*n * (n+1)*(n² + 1) Первые три числа в выражении - это последовательные числа. 1) Возможно, что среди них есть число (множитель), кратное 5k, тогда, и всё выражение кратно 5, т.е. делится на 5.
2) Если же такого числа нет, т.е. ни один из множителей на 5 не делится, то возможные остатки при делении: 1, 2, 3, 4 т.к. это последовательные числа. Тогда: а) n = 5k + 1 n² - 1 = 25k² + 10k + 1 - 1 = 5(5k² + 2k) - делится на 5 а) n=5k+2, в этом случае: n²+1 = 25k² +20k +4 + 1 = 5·(5k²+4+1) →делится на 5
б) n=5k+3, но тогда n²+1 =25k² + 30k + 9 + 1 = 5·(5k^2+6k+2) → делится на 5 в) n = 5k + 4, в этом случае рассмотрим (n² - 1): n² - 1 = 25k² + 40k + 16 - 1 = 5(5k² +8k + 3) → делится на 5
При этом, т.к. числа последовательные, одно из них обязательно будет четным, т.е. делиться на 2. Если число делится на 2 и 5, то оно делится и на 10, ч.т.д.
Answers & Comments
Verified answer
Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.
Если два числа оканчиваются на одну и ту же цифру, то их разность оканчивается на 0.
Таким образом, нам нужно доказать, что числа [tex]n[/tex] и [tex]n^5[/tex] оканчиваются на одну и ту же цифру.
Для этого рассмотрим все возможные последние цифры числа [tex]n[/tex] и найдем соответствующие последние цифры числа [tex]n^5[/tex].
Для небольших чисел можно обойтись непосредственным вычислением:
[tex]n=0\Rightarrow n^5=0^5=0[/tex]
[tex]n=1\Rightarrow n^5=1^5=1[/tex]
[tex]n=2\Rightarrow n^5=2^5=32[/tex]
[tex]n=3\Rightarrow n^5=3^5=243[/tex]
[tex]n=4\Rightarrow n^5=4^5=2^{10}=1024[/tex]
Для чисел 5 и 6 воспользуется тем, что 5 в любой степени оканчивается на 5 и 6 в любой степени оканчивается на 6 в силу равенств [tex]5\cdot5=25;\ 6\cdot6=36[/tex]:
[tex]n=5\Rightarrow n^5=5^5=\ldots5[/tex]
[tex]n=6\Rightarrow n^5=6^5=\ldots6[/tex]
Для остальных чисел по ходу вычислений будем только последние цифры промежуточных результатов:
[tex]n=7\Rightarrow n^5=7^5=7^2\cdot7^2\cdot7=(49\cdot49)\cdot7=\ldots1\cdot7=\ldots7[/tex]
[tex]n=8\Rightarrow n^5=8^5=8^2\cdot8^2\cdot8=(64\cdot64)\cdot8=\ldots6\cdot8=\ldots8[/tex]
[tex]n=9\Rightarrow n^5=9^5=9^2\cdot9^2\cdot9=(81\cdot81)\cdot9=\ldots1\cdot9=\ldots9[/tex]
Таким образом, числа [tex]n^5[/tex] и [tex]n[/tex] всегда оканчиваются на одну и ту же цифру, а значит их разность оканчивается на 0, а значит делится на 10.
[tex](n^5-n)\ \vdots\ 10[/tex]
Доказано.
Ответ:
Объяснение:
1. При n = 1 выражение = 0 → 0 : 10 = 0.
2. n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n²-1)(n²+1) = n (n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (n - 1)*n * (n+1)*(n² + 1)
Первые три числа в выражении - это последовательные числа.
1) Возможно, что среди них есть число (множитель), кратное 5k, тогда, и всё выражение кратно 5, т.е. делится на 5.
2) Если же такого числа нет, т.е. ни один из множителей на 5 не делится, то возможные остатки при делении: 1, 2, 3, 4 т.к. это последовательные числа. Тогда:
а) n = 5k + 1
n² - 1 = 25k² + 10k + 1 - 1 = 5(5k² + 2k) - делится на 5
а) n=5k+2, в этом случае:
n²+1 = 25k² +20k +4 + 1 = 5·(5k²+4+1) →делится на 5
б) n=5k+3, но тогда
n²+1 =25k² + 30k + 9 + 1 = 5·(5k^2+6k+2) → делится на 5
в) n = 5k + 4, в этом случае рассмотрим (n² - 1):
n² - 1 = 25k² + 40k + 16 - 1 = 5(5k² +8k + 3) → делится на 5
При этом, т.к. числа последовательные, одно из них обязательно будет четным, т.е. делиться на 2.
Если число делится на 2 и 5, то оно делится и на 10, ч.т.д.