б) Fn = 3 · Fn-1 – 2 · Fn-2 з відомими початковими значеннями F0 = 1 F1 = 1.
a) За формулою для рекурентної послідовності Pn = 42 · Pn – 2 маємо:
P0 = 1
P2 = 42 · P0 = 42
P4 = 42 · P2 = 42 · 42 = 1764
P6 = 42 · P4 = 42 · 1764 = 74148
P8 = 42 · P6 = 42 · 74148 = 3112936
Отже з формули видно що непарні значення n послідовності Pn будуть дорівнювати 0 а парні будуть обчислюватися за формулою Pn = 42 · Pn-2. Таким чином щоб отримати P10 нам потрібно застосувати формулу до P8:
P10 = 42 · P8 = 42 · 3112936 = 130512312
Отже P10 = 130512312.
б) З формулою для чисел Фібоначчі Fn = 3 · Fn-1 – 2 · Fn-2 та відомими початковими значеннями F0 = 1 F1 = 1 маємо:
F2 = 3 · F1 – 2 · F0 = 1
F3 = 3 · F2 – 2 · F1 = 1
F4 = 3 · F3 – 2 · F2 = 1
F5 = 3 · F4 – 2 · F3 = 1
F6 = 3 · F5 – 2 · F4 = 1
F7 = 3 · F6 – 2 · F5 = 1
Таким чином з формули видно що Fn завжди дорівнюватиме 1 для всіх n ≥ 2. Тому щоб знайти n за послідовністю Fn потрібно знайти перше значення коли Fn > 1000. За допомогою рекурентної формули можна знайти наступні значення:
F8 = 3 · F7 – 2 · F6 = 3 · 1 – 2 · 1 = 1
F9 = 3 · F8 – 2 · F7 = 3 · 1 – 2 · 1 = 1
Отже перше значення n коли Fn > 1000 буде n = 8. Тому щоб знайти n за послідовністю Fn потрібно розв'язати рівняння Fn = 1000 що дає F8 = 987. Отже n = 8.
Answers & Comments
Ответ:
б) Fn = 3 · Fn-1 – 2 · Fn-2 з відомими початковими значеннями F0 = 1 F1 = 1.
a) За формулою для рекурентної послідовності Pn = 42 · Pn – 2 маємо:
P0 = 1
P2 = 42 · P0 = 42
P4 = 42 · P2 = 42 · 42 = 1764
P6 = 42 · P4 = 42 · 1764 = 74148
P8 = 42 · P6 = 42 · 74148 = 3112936
Отже з формули видно що непарні значення n послідовності Pn будуть дорівнювати 0 а парні будуть обчислюватися за формулою Pn = 42 · Pn-2. Таким чином щоб отримати P10 нам потрібно застосувати формулу до P8:
P10 = 42 · P8 = 42 · 3112936 = 130512312
Отже P10 = 130512312.
б) З формулою для чисел Фібоначчі Fn = 3 · Fn-1 – 2 · Fn-2 та відомими початковими значеннями F0 = 1 F1 = 1 маємо:
F2 = 3 · F1 – 2 · F0 = 1
F3 = 3 · F2 – 2 · F1 = 1
F4 = 3 · F3 – 2 · F2 = 1
F5 = 3 · F4 – 2 · F3 = 1
F6 = 3 · F5 – 2 · F4 = 1
F7 = 3 · F6 – 2 · F5 = 1
Таким чином з формули видно що Fn завжди дорівнюватиме 1 для всіх n ≥ 2. Тому щоб знайти n за послідовністю Fn потрібно знайти перше значення коли Fn > 1000. За допомогою рекурентної формули можна знайти наступні значення:
F8 = 3 · F7 – 2 · F6 = 3 · 1 – 2 · 1 = 1
F9 = 3 · F8 – 2 · F7 = 3 · 1 – 2 · 1 = 1
Отже перше значення n коли Fn > 1000 буде n = 8. Тому щоб знайти n за послідовністю Fn потрібно розв'язати рівняння Fn = 1000 що дає F8 = 987. Отже n = 8.