На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 2, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 4, а числа третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 7 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 14 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
More Questions From This User See All
Answers & Comments
а) Могло. В первой группе число 2, во второй 8, в третьей 6.
б) Пусть в первой группе
чисел и их сумма 
, во второй соответственно 
чисел, сумма 
, сумма в третьей группе равна 
. Предположим, что могла. Значит, 
, откуда 
, что невозможно.
в) Рассмотрим набор чисел, дающих максимальное увеличение. Тогда в первой группе одно число (иначе мы могли бы взять число из первой группы и перенести во вторую, тем самым сделав набор более выгодным). Аналогично в третьей группе одно число. Пусть во второй группе найдется число, которое меньше числа третьей группы. Тогда их можно поменять местами, улучшив набор. Значит, число третьей группы меньше любого числа из второй. Если число первой группы меньше числа третьей, то их можно поменять, опять же улучшив набор. Следовательно, число первой группы больше числа третьей. Заметим, что число тем больше увеличивается после операции, описанной в задачи, чем оно меньше. Поэтому структура групп такова: в первой группе число 2, во второй числа
, а в третьей 
. Сумма до операции равна 
. После операции: 
. Увеличение равно 
, теперь можно исследовать эту функцию. После становится ясно, что максимум находится либо в точке 8, либо в точке 7. Для 
: 
, для 
: 
— это больше, чем предыдущее значение. Итак, сумма чисел могла увеличится максимум в 
раза, это соответствует набору 
.
Наверное, так