На доске выписаны числа от 1 до 2017. Ученик подчеркнул все числа, делящиеся на 2,затем все числа, делящиеся на 3,а затем, все числа, делящиеся на 5. Сколько чисел подчёркнуто ровно 2 раза?
а) 336
б) 470
в) 211
г) 547
д) 614
а) 336
б) 470
в) 211
г) 547
д) 614
Answers & Comments
Verified answer
Наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 5 равно 30. Среди них:- ни разу не подчёкнуты 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
- один раз подчёркнуты 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 17, 21, 22, 25, 26, 27, 28
- два раза пожчёркнуты 6, 10, 12, 15, 18, 20, 24 (7 чисел)
- три раза подчёркнуты 30.
Теперь заметим, если каждый раз брать следующие 30 чисел, то любое число будет подчёркнуто ровно столько же раз, что и среди первых 30-ти.
Значит, в каждой следующей группе чисел по 30 будут два раза подчёркнуты 7 чисел.
Считаем, сколько таких групп будет 2017 : 30 = 67 + 7 в остатке.
Тогда среди 67 × 30 = 2010 чисел два раза будут подчёркнуты 67 × 7 = 469 чисел. Среди оставшихся 7 чисел (легко подсчитать) два раза будет подчёркнуто только число 2016. Числа 2011 и 2017 - ни разу, 2012, 2013, 2014 и 2015 - по одному разу.
Итак, дважды окажутся подчёркнутыми 469 + 1 = 470 чисел.
Ответ: б) 470