mb17x Так как АС=ВС, то ΔАВС - равнобедренный.
Значит ∠САВ=∠СВА (по свойству равнобедренного треугольника) 
                          {напомню свойство:
                            углы при основании равнобедренного
                            треугольника равны}
ΔABR=ΔBAP (по I признаку равенства треугольников),
                        {по двум сторонам и углу между ними}
так как AR=ВР, АВ - общая сторона, ∠ВАR=∠AВP.                                 {∠BAR=∠CAB находится между сторонами AR и AB,
∠AВP=∠СВА между BP и AB}
Отсюда следует, что AP=BR   {Так в равных треуг. все соответствующие стороны и углы равны}
Что и требовалось доказать.