Количество чисел делящихся на 2 среди чисел 1,..., 50 равно [50/2]=25. (здесь [x] - целая часть числа х, т.е. наибольшее целое не превосходящее x). Среди этих 25-и чисел есть и те, которые делятся на 2², 2³, ... Поэтому чтобы узнать, у скольких чисел 2 входит в разложение на простые только в первой степени, надо из количества всех чисел, делящихся на 2 отнять количество всех делящиеся на 2², которых будет [50/2²]=12. Итак, имеется 25-12=13 чисел, у которых двойка входит в разложение на простые в первой степени. Аналогично, количество чисел, у которых двойка в разложении будет во второй степени, равно [50/2²]-[50/2³]=12-6=6. Количество чисел, у которых 2 входит в разложение ровно в 3-ей степени: [50/2³]-[50/2⁴]=6-3=3; в 4-ой степени [50/2⁴]-[50/2⁵]=3-1=2; в 5-ой степени [50/2⁵]-[50/2⁶]=1-0=1. В остальных степенях уже 2 не будет, т.к. 2⁶=64>50. Итак, общая степень двойки у 50! равна 13+2*6+3*3+4*2+5*1=47. Итак, ответ: 47.
P.S.Если все эти рассуждения сократить, то общая формула для степени двойки в разложении 50! на простые множители выглядит так: [50/2]+[50/2²]+[50/2³]+[50/2⁴]+[50/2⁵]=25+12+6+3+1=47. Также, понятно, как эта формула обобщается на любые простые числа в разложении n!.
Answers & Comments
Verified answer
Количество чисел делящихся на 2 среди чисел 1,..., 50 равно [50/2]=25. (здесь [x] - целая часть числа х, т.е. наибольшее целое не превосходящее x). Среди этих 25-и чисел есть и те, которые делятся на 2², 2³, ... Поэтому чтобы узнать, у скольких чисел 2 входит в разложение на простые только в первой степени, надо из количества всех чисел, делящихся на 2 отнять количество всех делящиеся на 2², которых будет [50/2²]=12. Итак, имеется 25-12=13 чисел, у которых двойка входит в разложение на простые в первой степени. Аналогично, количество чисел, у которых двойка в разложении будет во второй степени, равно [50/2²]-[50/2³]=12-6=6. Количество чисел, у которых 2 входит в разложение ровно в3-ей степени: [50/2³]-[50/2⁴]=6-3=3;
в 4-ой степени [50/2⁴]-[50/2⁵]=3-1=2;
в 5-ой степени [50/2⁵]-[50/2⁶]=1-0=1.
В остальных степенях уже 2 не будет, т.к. 2⁶=64>50.
Итак, общая степень двойки у 50! равна 13+2*6+3*3+4*2+5*1=47. Итак, ответ: 47.
P.S.Если все эти рассуждения сократить, то общая формула для степени двойки в разложении 50! на простые множители выглядит так:
[50/2]+[50/2²]+[50/2³]+[50/2⁴]+[50/2⁵]=25+12+6+3+1=47. Также, понятно, как эта формула обобщается на любые простые числа в разложении n!.