Verified answer

Начнем с определения последних цифр чисел. Рассмотрим, что произойдет, если на месте последней цифры двузначного чисел будет стоять каждая из цифр.

Если двузначное число оканчивается на 3, то его квадрат оканчивается на 9. Цифра 9 есть среди предложенных.

Если двузначное число оканчивается на 7, то его квадрат оканчивается на 9. Цифра 9 есть среди предложенных.

Если двузначное число оканчивается на 5, то его квадрат также оканчивается на 5. Но цифра 5 только одна. Значит этот вариант невозможен.

Если двузначное число оканчивается на 9, то его квадрат  оканчивается на 1. Но цифры 1 среди предложенных нет. Этот вариант невозможен.

Если двузначное число оканчивается на 2, то его квадрат  оканчивается на 4. Но цифры 4 среди предложенных нет. Этот вариант невозможен.

Итак, возможны две ситуации:

1. Двузначное число оканчивается на 3, а его квадрат - четырехзначное число оканчивается на 9 (числа *3 и ***9).

2. Двузначное число оканчивается на 7, а его квадрат - четырехзначное число оканчивается на 9 (числа *7 и ***9).

Рассмотрим первую ситуацию (числа *3 и ***9). Неиспользованные цифры: 7, 5, 3, 2. Простым перебором можно рассмотреть все возможные двузначные числа и посмотреть, можно ли получить его квадрат из оставшихся цифр.

Чтобы упростить перебор, можно сделать дополнительную оценку. Так как квадрат некоторого числа - четырехзначное число, то само это число точно больше 30. Также можно заметить, что четырехзначное число не может содержать цифры 1, значит оно больше 2000. Это означает, что двузначное число точно больше 40.

Таким образом, варианты двузначного числа 23 и 33 заведомо неверны. Остается проверить варианты двузначного числа 53 и 73.

53²=2809 - цифры не соответствуют предложенным

73²=5329 - цифры соответствуют предложенным

Итак, искомые числа 73 и 5329.

Рассмотрим вторую ситуацию (числа *7 и ***9), чтобы проверить наличие других решений. Неиспользованные цифры: 3, 5, 3, 2.

Выполним простой перебор всех вариантов, так как их всего три.

37²=1369, 57²=3249, 27²=729

Не один из вариантов не дает числа, состоящего из нужных цифр.

Значит, ранее найденная пара чисел 73 и 5329 - единственная.

Ответ: 73 и 5329