Объяснение:

6 точек даны так, что никакие три из них не лежат

на одной прямой => любые 3 точки образуют треугольник.

Каждая пара точек соединена отрезком => любая точка является концом пяти отрезков.

Отрезки 2-х цветов: синего или красного =>

для каждой точки верно, что как минимум 3 отрезка будут одного цвета.

Рассмотрим произвольно взятую точку из шести расположенных. Обозначим ее как (1).

Точку (1) с остальными соединяет 5 отрезков (т.к. точек 6, все попарно соединены).

Из 5 отрезков двух цветов будет минимум 3 отрезка одинакового цвета. Доказать можно так: число 5 разбивается на пару натуральных слагаемых только 2 способами 5= 1+4 или 5=2+3, и каждый вариант имеет слагаемое ≥ 3)

Пусть, этот цвет - синий.

Обозначим точки, соединенные отрезками синего цвета как (2), (3) и (4).

Очевидно, что если отрезки (1)-(2), (1)-(3), (1)-(4) - синие, то у треугольников 1-2-3, 1-2-4 и 1-3-4 - уже по 2 синих стороны . Следовательно, третья сторона у каждого из этих трех треугольников (отрезки 2-3, 2-4 и 3-4) должна быть красного цвета, иначе образуется одноцветный треугольник.

Итак - чтобы не было синего треугольника,

отрезки (2)-(3), (2)-(4), (3)-(4) - обязательно красные.

НО! Тогда мы получаем КРАСНЫЙ треугольник 2-3-4!

Мы пришли к противоречию.

Если взять вместо синего - красный цвет - ничего не поменяется.

Следовательно, утверждение, что среди данных точек всегда можно выбрать такие три, что все стороны образованного треугольника будут окрашены в один цвет - верно.

Ч.т.д.