ABCD - квадрат

AL = MB = NC = KD -----------> и  

AM = BN = CK = DL  

Отсеченные прямоугольники - прямоугольные с попарно равными катетами =>

равны и их гипотенузы -----> равны стороны вписанной фигуры.

К углу "вписанной" фигуры (предполагаемого квадрата) прилегают по острому углу, и с сумме эти острые углы составляют 90 град. ----->

угол "вписанной" фигуры составляет 90 град. => KLMN - квадрат