На рисунке прямая BE пересекает прямую AC в точке H, прямая DC пересекает AB в точке G. Прямые BE и DC пересекаются в точке F. Найдите угол GFB, если треугольники ADB и AEC равносторонние.
Answers & Comments
ssoxo
Треугольники DAC и BAE равны, т.к. ∠DAC=∠BAE (∠ВАС+60°), DA=BA, AE=AC, значит ∠АВЕ=∠ADC и ∠ACD=∠AEB. В вогнутом четырёхугольнике DAEF сумма углов равна 360°. ∠ADF+∠AEF+∠ВАС+∠DAB=180° (как в любом из треугольников DAC и BAE), значит ∠DFЕ+∠САЕ=∠DFЕ+60°=180°. Сумма смежных углов НGF и GFВ равна 180°, ∠НGF=DFЕ, значит ∠GFВ=∠САЕ=60° - это ответ.
Можно короче. Тр-ки DAG и ВGF подобны, т.к. ∠DGA=∠ВGF как вертикальные и ∠ADG=∠FBG (доказано ранее), значит ∠GFВ=∠DAG=60°. Всё!
Answers & Comments
В вогнутом четырёхугольнике DAEF сумма углов равна 360°. ∠ADF+∠AEF+∠ВАС+∠DAB=180° (как в любом из треугольников DAC и BAE), значит ∠DFЕ+∠САЕ=∠DFЕ+60°=180°.
Сумма смежных углов НGF и GFВ равна 180°, ∠НGF=DFЕ, значит ∠GFВ=∠САЕ=60° - это ответ.
Можно короче. Тр-ки DAG и ВGF подобны, т.к. ∠DGA=∠ВGF как вертикальные и ∠ADG=∠FBG (доказано ранее), значит ∠GFВ=∠DAG=60°.
Всё!