Так как уравнение не содержит аргумент x, то полагаем u=y'. Тогда y"=u'=du/dy*dy/dx=y'*du/dy=u*du/dy и уравнение принимает вид 2*y*u*du/dy=u², или - по сокращении на u - вид 2*y*du/dy=u. Умножив обе части на dy и разделив затем на произведение 2*u*y, приходим к уравнению с разделёнными переменными du/u=1/2*dy/y. Интегрируя обе части, получаем ln/u/=1/2*ln/y/+1/2*ln(C), где C - произвольная положительная постоянная. Отсюда u=√(C*y)=C1*√y, где C1=√C, а так как u=y', то мы приходим к уравнению y'=dy/dx=C1*√y. Оно приводится к виду dy/√y=C1*dx, и интегрируя обе части, получаем 2*√y=C1*x+C2. Отсюда y=1/4*(C1*x+C2)² и y'=1/2*C1*(C1*x+C2)/2. Используя теперь условия y(0)=1 и y'(0)=1, получаем систему уравнений:
C2²=4
C1*C2=2
Так как C1=√C>0, то и C2>0. Отсюда C2=2, C1=1 и искомое частное решение таково: y=1/4*(x+2)². Проверка: y'=1/2*x+1, y"=1/2, 2*y*y"=1/4x²+x+1=(1/2*x+1)²=y'² - значит, решение найдено верно.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ: y=1/4*(x+2)².
Пошаговое объяснение:
Так как уравнение не содержит аргумент x, то полагаем u=y'. Тогда y"=u'=du/dy*dy/dx=y'*du/dy=u*du/dy и уравнение принимает вид 2*y*u*du/dy=u², или - по сокращении на u - вид 2*y*du/dy=u. Умножив обе части на dy и разделив затем на произведение 2*u*y, приходим к уравнению с разделёнными переменными du/u=1/2*dy/y. Интегрируя обе части, получаем ln/u/=1/2*ln/y/+1/2*ln(C), где C - произвольная положительная постоянная. Отсюда u=√(C*y)=C1*√y, где C1=√C, а так как u=y', то мы приходим к уравнению y'=dy/dx=C1*√y. Оно приводится к виду dy/√y=C1*dx, и интегрируя обе части, получаем 2*√y=C1*x+C2. Отсюда y=1/4*(C1*x+C2)² и y'=1/2*C1*(C1*x+C2)/2. Используя теперь условия y(0)=1 и y'(0)=1, получаем систему уравнений:
C2²=4
C1*C2=2
Так как C1=√C>0, то и C2>0. Отсюда C2=2, C1=1 и искомое частное решение таково: y=1/4*(x+2)². Проверка: y'=1/2*x+1, y"=1/2, 2*y*y"=1/4x²+x+1=(1/2*x+1)²=y'² - значит, решение найдено верно.