Найдите число последовательностей {a1,a2,…,a2n}, состоящих из чисел 1 и -1, кото...

July 2022 1 61 Report

Найдите число последовательностей {a1,a2,…,a2n}, состоящих из чисел 1 и -1, которые обладают следующими свойствами:
a1+a2+…+a2n=0;
a1≥0;
a1+a2≥0;
a1+a2+a3≥0;
…
a1+a2+a3+…+a2n-1≥0.
******************
не спамить !!!

Answers & Comments

Denik777

Verified answer

Последовательности удовлетворяющие условию будем называть "правильными". Любая правильная последовательность начинается с +1 (по условию) и заканчивается на -1 (иначе $a_1+a_2+\ldots+a_{2n-1}< 0$ ).

Правильную последовательность длины 2n можно получить так:
1) Выбрать произвольное k с условием 0≤k≤n-1.
2) Между 1 и -1 вставить любую правильную последовательность длиной 2k.
3) К полученной последовательности приписать правильную последовательность длиной 2(n-k-1). При этом, если надо приписывать или вставлять последовательность нулевой длины, то ничего не делаем.
В итоге, получается последовательность длиной 2+2k+2(n-k-1)=2n. Причем, эта последовательность обязательно правильная, т.к.
a) $a_1+a_2+\ldots+a_{j}\ge 1$ при 1≤j≤2k+1 (т.к. после начальной 1 мы приписали правильную длиной 2k)
б) $a_1+a_2+\ldots+a_{j}= 0$ при j=2k+2 (т.к. сумма всех элементов правильной равно 0 и сумма 1 и -1 тоже 0)
в) $a_1+a_2+\ldots+a_{j}=a_{2k+3}+\ldots+a_{j}\ge 0$ при 2k+3≤j≤2n (при k=n-1 этой части нет).
Обратное тоже верно. Любую правильную последовательность длины 2n можно представить в таком виде. Действительно, в качестве k можно выбрать первое такое k, что $a_1+a_2+\ldots+a_{2k+2}= 0$ . Тогда $a_1=1$ , $a_{2k+2}=-1$ , а все последовательные суммы элементов между ними больше или равны 0, т.к. все суммы начиная с первой единицы больше или равны 1 (не забываем, что мы выбрали ПЕРВОЕ такое k). Т.е. между 1 и -1 находится правильная последовательность длины 2k. Все, что находится после этих 2k+2 элементов, очевидно, также является правильной последовательностью.Таким образом, для произвольной правильной последовательности длины 2n выполнены все условия а), б), в).

Из этого построения следует рекуррентная формула для числа всех правильных последовательностей длины 2n. Обозначим через $c_k$ число правильынх последовательностей длины 2k. Тогда
$c_{n}=c_{n-1}+c_1c_{n-2}+\ldots+c_{n-2}c_1+c_{n-1}$
Здесь первое слагаемое соответствует k=0, т.е.это количество всех правильных последовательностей вида {1,-1, произвольная правильная последовательность длины 2(n-1)}.
Второе слагаемое соответствует k=1, когда последовательности имеют вид
{1, все правильные последовательности длины 2, -1, все правильные последовательности длины 2(n-2)}. И т.д.
Итак, для n=7:
$c_1=1$ (такая последовательность всего одна: {1,-1})
$c_2=c_1+c_1=2$
$c_3=c_2+c_1c_1+c_2=5$
$c_4=c_3+c_2c_1+c_1c_2+c_3=14$
$c_5=c_4+c_3c_1+c_2c_2+c_1c_3+c_4=42$
$c_6=c_5+c_4c_1+c_3c_2+c_2c_3+c_1c_4+c_5=132$
$c_7=c_6+c_5c_1+c_4c_2+c_3c_3+c_2c_4+c_1c_5+c_6=429$
Ответ: 429.

P.S. Полученное рекуррентное соотношение можно упростить, и доказать, что $c_n=C_{2n}^n/(n+1)$ . Это можно доказать по индукции, или с помощью производящих функций. Сама задача эквивалентна задаче о количестве правильных расстановок 2n скобок (nоткрывающих и n закрывающих). Открывающая скобка соответствует +1, изакрывающая соответствует -1. (число открывающихскобок левее k-oй позиции не меньше числа закрывающих). Количество таких расстановокназывается числом Каталана. Есть еще множество интересных переформулировок этой задачи. Все можно найти в интернете по запросу "Числа Каталана".

5 votes Thanks 3

mewnet аааааааа, 500 баллов

IUV за такой ответ не жалко !!!

IUV СПАСИБО !!!

Answers & Comments

Verified answer

nikak ne poluchaetsya poluchit pravilnyj otvet 24 sm proshu pomoch uslovie vo vlozh

proshu reshit 3 i 4 zadanie

za vremya t2s pryamolinejnogo ravnouskorennogo dvizheniya telo proshlo put s20 m

za vremya delta t 2 ms v katushke iz n 200 vitkov provoda magnitnyj potok ubyvaec3961d88900c6223e73b9034b107fae 28092

proton letyashij so skorostyu v0 uprugo stolknuvshis s nepodvizhnym atomom otklo6409d33db9002025d2c63374f6e8b2e8 9393

prostoj vopros predstavim chto my nashli holodnuyu planetu bez morej i okeanov b

zavisimost modulya skorosti dvizheniya ot vremeni dlya dvuh tel izobrazhaetsya poluok

m chtoby udlinnenie pruzhiny sostavilo 20 sm

nomera 24 26 29 32

proshu uprostit vyrazhenie vsego dva zadaniya na kartinke vo vlozhenii

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social