При k >= 0, kx^2 + 2x + k + 2 >= 2x >0 при x > 0 - есть решения.

Рассмотрим k < 0 :

D/4 = 1 - k(k+2) <= 0

k^2 + 2k - 1 >= 0

k1,k2 = -1 +- √2

k < 0 -> k <= -1 - √2

1 < 2 < 4

1 < √2 < 2

2 < 1+√2 < 3

Наибольшее целое k : -3