Verified answer

Решение:

Функция у = 2х² - 12х + 3

График функции - парабола веточками верх, так как коэффициент а =2 перед х² положительный.

Преобразуем функцию:

у = 2(х² - 6х + 9) - 15

или

у = 2(х - 3)² - 15

График функции у = х² сдвинут по оси абсцисс на 3 вправо, растянут в 2 раза вдоль оси ординат, и сдвинут по оси ординат на 15 вниз.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (3; -15) и в ней функция принимает минимальное значение.

Найдём наименьшее и наибольшее значение функции

а) на отрезке х ∈ [-1; 3]

Этот отрезок находится на нисходящей (левой) ветви параболы. Следовательно, наименьшее значение на этом отрезке функция принимает в точке х = 3, а наибольшее - в точке х = -1

х = -1; у наиб = 2(-1 - 3)² - 15 = 17

х = 3; у наим = 2(3 - 3)² - 15 = -15

б) на луче х ∈ (-∞; -4]

Луч также находится на нисходящей ветви параболы, наибольшего значения не существует, так как при х -> - ∞ y -> + ∞, а наименьшее значение функция принимает в точке х = -4

у наиб не существует

х = -4; у наим = 2( - 4 - 3)² - 15 = 83

в) на луче х ∈ (-4; +∞)

На этом луче находится вершина параболы, поэтому наименьшее значение функция принимает в точке х = 3, а наибольшего значения не существует, так как при х -> +∞ y -> + ∞.

у наиб не существует

х = 3; у наим = -15

г) х ∈ R

Наибольшего значения не существует, так как при х -> ± ∞ y ->+ ∞, а наименьшее значение функция принимает в вершине параболы

при х = 3

у наиб не существует

х = 3; у наим = -15