2 ·2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 900

900 = 4 · 9 · 25

1) Если произведение n(n+1)(n+2)(n+3)  делится на 900, значит, оно должно делиться на каждый множитель числа 900, т.е.

Произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится и на 4, и на 9, и на 5.

2) Среди четырех последовательных чисел n,  n+1,  n+2,  n+3 не может быть двух кратных 25, поэтому одно из них делится на 25.

3) По условию число n - трёхзначное наименьшее.  

Число 100 делится на 25 и является наименьшим трёхзначным натуральным.

При n = 100 получаем четыре последовательных числа:

100;  101;  102; 103

Но среди этих чисел нет числа, которое делится на 9, поэтому n≠100.

4) Следующее число 125, которое  делится на 25 и является трёхзначным натуральным.

Находим ближайшее к числу 125, которое делится на 9.

Это число 126.

Среди четырёх подряд идущих натуральных есть обязательно два чётных,  т.е. деление на 4 выполняется.

Итак, получаем два числа из четырех:

125;  126

Дополняем предыдущими для получения наименьшего трехзначного числа:

123;  124;  125; 126

Наименьшее трёхзначное натуральное число n = 123

Ответ:  n = 123.