Прямая является касательной к параболе тогда и только тогда,

когда кв. уравнение имеет 1 решение.

Касательная Y=kx+b

Уравнения

x^2-4x+3=kx+b

и

-x^2+6x-10=kx+b

имеют каждое одно решение

x^2-x(4+k)+3-b=0

и

x^2+x(k-6)+b+10=0

Приравниваем оба дискриминанта к нулю

D1=(4+k)^2-4(3-b))=k^2+8k+4b+4=0

D2=(k-6)^2-4(b+10)=k^2-12k-4b-4=0

Складываем

2k^2-4k=0

2k(k-2)=0

k1=0; b1= - 1;

k2=2; b2= -6;

Касательные (две) :  

y= - 1

y=2x - 6.