Найдите область значений2cos²а -sin(a)=2(1-sin²(a)) -sin(a)= -2sin²(a)-sin(a)+2
Пусть t=sin(a), 1≤t≤1. Рассмотрим y =-2t²-t+2. Если НЕ знаем производные, ТО найдем вершину параболы y =-2t²-t+2. ДЛЯ y=at²+bt+c координаты вершины: t0=- b/(2a) y0=a(t0)²+bt+c.
ДЛЯ y =-2t²-t+2 координаты вершины: t0=1/(2(-2)) =-1/4 ∈[-1;1], y0=-2(-1/4)²-(-1/4)+2=2+1/8=2,125. Ветви параболы направлены вниз, у (t0) =2,125 - наибольшее значение . Найдем y(-1)=-2(-1)²-(-1)+2=-2+1+2=1 и y(1)=-2(1)²-(1)+2=-2-1+2=-1
(значения y=-2t²-t+2 на концах промежутка [-1;1] ). у (t0) =2,125; y(-1)=1; y(1)= -1, ⇔ y = -2t²-t+2= {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125] Можно преобразовать, выделив полный квадрат: -2(t²+2·(1/4)t+1/16) +2·(1/16)+2=2(t+1/4)²+2,125
Тогда t0=-1/4 y0=2,125, значения y(-1)=1, y(1)= -1 вычисляем как выше. Также сравниваем y0=2,125; y(-1)=1; y(1)= -1. Понимаем, что {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]
Если знаем производные, найдем наименьшее наибольшее значение функции y= -2t²-t+2 при t∈[-1;1].
Answers & Comments
Verified answer
Найдите область значений2cos²а -sin(a)=2(1-sin²(a)) -sin(a)= -2sin²(a)-sin(a)+2Пусть t=sin(a), 1≤t≤1. Рассмотрим y =-2t²-t+2.
Если НЕ знаем производные, ТО найдем вершину параболы
y =-2t²-t+2.
ДЛЯ y=at²+bt+c координаты вершины: t0=- b/(2a) y0=a(t0)²+bt+c.
ДЛЯ
y =-2t²-t+2
координаты вершины: t0=1/(2(-2)) =-1/4 ∈[-1;1],
y0=-2(-1/4)²-(-1/4)+2=2+1/8=2,125.
Ветви параболы направлены вниз,
у (t0) =2,125 - наибольшее значение .
Найдем y(-1)=-2(-1)²-(-1)+2=-2+1+2=1 и y(1)=-2(1)²-(1)+2=-2-1+2=-1
(значения y=-2t²-t+2 на концах промежутка [-1;1] ).
у (t0) =2,125; y(-1)=1; y(1)= -1, ⇔
y = -2t²-t+2= {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]
Можно преобразовать, выделив полный квадрат:
-2(t²+2·(1/4)t+1/16) +2·(1/16)+2=2(t+1/4)²+2,125
Тогда t0=-1/4 y0=2,125, значения y(-1)=1, y(1)= -1 вычисляем как выше. Также сравниваем y0=2,125; y(-1)=1; y(1)= -1. Понимаем, что
{2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]
Если знаем производные,
найдем наименьшее наибольшее значение функции y= -2t²-t+2
при t∈[-1;1].
1) y¹= -4t-1
2) -4t-1=0 ⇔ t=-1/4
3) y(-1)= -2(-1)²-(-1)+2=-2+1+2=1
4)y(1)= -2(1)²-(1)+2 =-2-1+2=-1
5)y(-1/4 )= -2(-1/4 )²-(-1/4 )+2=-1/8+1/4+2=2,125
Также сравниваем y0=2,125; y(-1)=1; y(1)= -1.
Понимаем, что {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]