Найдите периметр прямоугольника, если сумма трех его сторон равна 2k, а площадь наибольшая. Created by mashamustafayeva04. matematika-ru

Найдите периметр прямоугольника, если сумма трех его сторон равна 2k, а площадь ...

mashamustafayeva04 @mashamustafayeva04

September 2021 1 50 Report

Найдите периметр прямоугольника, если сумма трех его сторон равна 2k, а площадь наибольшая

Answers & Comments

KmathX

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть периметр нашего прямоугольника равен Р. Тогда одна из сторон - Р-2k, так как 2k - сумма трех из четырех сторон прямоугольника.

А сумма двух не противоположных сторон равна $\displaystyle \frac12P$ только потому, что Р = а + b + a + b = 2(a + b)

Но так как мы уже знаем одну сторону, мы можем найти и вторую

$\displaystyle \frac12P-(P-2k)=\frac12P-P+2k=-\frac12P+2k=2k-\frac12P$

Площадь прямоугольника - произведение его сторон.

Тогда составим функцию $S(P)$ которая будет выражать площадь.

$\displaystyle (P-2k)(2k-\frac12P)=2kP-\frac12P^2-4k^2+Pk=-\frac12P^2+3kP-4k^2$

Максимум этой функции - такая точка Р, где площадь наибольшая.

Так как относительно Р данная функция является квадратичной, то $\displaystyle \max_{\mathbb{R}}(S(P))$ находится легко. Так как у графика данной функции (параболы) ветви опущены вниз (из-за отрицательности коэффициента перед $P^2$ - $-н$ ), то максимум данной функции находится в вершине, абсцисса (нужное значение Р) которой вычисляется по формуле $\displaystyle -\frac{b}{2a}$ ( если надо вывести, напишите)