Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF: AB = BC = CD = DE = EF = AF, AC = 12 см — меньшая диагональ.

1. Рассмотрим △ABC: ∠ABC = 120° (так как все углы правильного шестиугольника равны 120°). Так как AB = BC, то △ABC равнобедренный, тогда ∠BAC = ∠BCA = x.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°;

120° + x + x = 180°;

2 * x = 180° - 120°;

2 * x = 60°;

x = 60°/2;

x = 30°.

Таким образом, ∠BAC = ∠BCA = x = 30°.

2. По теореме синусов:

AC/sin∠ABC = AB/sin∠BCA;

12/sin120° = AB/sin30°;

12 : √3/2 = AB : 1/2;

12 * 2/√3 = AB * 2;

24/√3 = 2 * AB;

AB = 24/(2 * √3) = 12/√3 = 12√3/3 = 4√3 (см).

3. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник находится по формуле:

r = (√3 * a) / 2,

где a — длина стороны шестиугольника.

r = (√3 * 4√3) / 2 = (3 * 4) / 2 = 12/2 = 6 (см).

Ответ: r = 6 см.