Найдите трехзначное положительное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, отличным от единицы, а цифры числа, меньшего на 200, образуют арифметическую прогрессию
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Пусть цифры x, y, z составляют искомое число 100x + 10y + z.Пусть также цифры x, y, z образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, т.е. y = x*q, z = x*q².
Когда из искомого числа вычли 200, то цифры y и z остались без изменения на своих местах, а первая цифра x уменьшилась на 2. Значит, арифметическую прогрессиию составляют цифры: x - 2, y, z. Пусть d - шаг арифметической прогрессии. Тогда:
первый член арифметической прогрессии (х-2), второй - (х - 2 + d), третий - (x - 2 + 2d).
Т.к. последние две цифры числа не изменились при вычитании 200, то можем приравнять:
x*q = x + d - 2
x*q² = x + 2d - 2
Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
Т.к. шаг d д.б целым (цифры же целые), выражение под корнем 2x д.б. квадратом. Это возможно только при двух значения х = 2 и х = 8. Однако первая цифра числа не м.б. равна 2, т.к. при вычитании 200 получится двузначное число. Остаётся, х = 8.
Первый шаг d = 6 не подходит, т.к. при таком шаге мы выйдем из множества цифр. Остаётся, d = -2.
Для нахождения q и х используем систему уравнений, куда подставим найденное значение d = -2:
Итак, найдена первая цифра числа 8 и знаменатель прогрессии 1/2. Значит, следующие цифры 4 и 2, а все число 842.
Проверяем.
Вычтем 200: 842 - 200 = 642.
Как видим, последовательность 6, 4, 2 образует арифметическую прогрессию с шагом минус 2.
Ответ: 842