znanija.com/task/34455715

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Найдите углы треугольника с вершинами

А(-1; √3), В(1; -√3) и С(1/2; √3).

Ответ: ∠A =60° , ∠B =arccos(13/14) , ∠C =arccos(-1/7) .

Объяснение:

* * * A(x₁ ;y₁) , B(x₂ ; y₂)  ⇒AB = {x₂-x₁ ;y₂-y₁ ) , |AB| =√( (x₂-x₁)² +(y₂-y₁) )* * *

* * *  a*b=|a|*|b|*cos(a^b)   скалярное произведение векторов  * * *

* * * a*b =aₓ*bx + ay *by  сумма произвед. соотв. проекции  * * *

AB { 2 ; -2√3 }   ⇒|AB|  =4                       B A { -2 ; 2√3 }  

* * *  |AB| =√( 2²+(-2√3)² ) =√( 4+(-2)²* (√3)² ) =√( 4+4* 3 ) =√16 =4  * * *

AC { 1,5 ; 0 }  ⇒ |AC| =√( 1,5²+0² ) =1,5       CA {- 1,5 ; 0 }

BC { -0,5 ; 2√3 }  ⇒ |BC| =3,5                     CB { 0,5 ; -2√3 }

--------------------------------------------------------------------------------------------

AB*AC = |AB| *|AC|*cos(AB^AC) =|AB| *|AC| *cos(∠A) =4*1,5*cos(∠A)

AB*AC =2*1,5 +(-2√3)*0 =  3

4*1,5*cos(∠A) = 3 ⇔ 6cos(∠A)= 3⇒ cos(∠A) = 1/2 ⇒∠A =60°.

----------------

BA*BC = |BA|*|BC|*cos(∠B)=|AB|*|BC|*cos(∠B) =4*3,5*cos(∠B)

BA*BC= (-2)*(-0,5) +(2√3)*2√3 = 13

4*3,5*cos(∠B) =13 ⇔14cos(∠B) =13 ⇒ cos(∠B) =13/14⇒

∠B = arccos(13/14)

----------------

CA*CB = |CA|*|CB|*cos(∠C)=|AC|*|BC|*cos(∠C) =1,5*3,5*cos(∠C)

CA*CB = (-1,5)*0,5 +0*(-2√3) = -1,5*0,5

1,5*3,5*cos(∠C) = -1,5*0,5  ⇔ cos(∠C) = - 1/7 ⇒

∠C = arccos(-1/7) .           !  ∠C   →  тупой

P.S. можно проверить

cos(∠A)+cos(∠B)+cos(∠C)=1+4sin(∠A/2)sin(∠B/2)sin(∠C/2).

Verified answer

Найдите углы треугольника с вершинами А(-1; √3), В(1; -√3) и С(\frac{1}{2}; √3).