Преобразуем левую часть равенства, разложив квадратный трехчлен на множители по формуле , где x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения.
Для этого найдем корни:
Отсюда имеем:
"Внесем" число 2 в первую скобку:
Число во второй скобке явно натуральное, потому что n может быть минимально единицей, а значит во вторых скобках стоит минимум 5.
Значит, и в первой скобке число натуральное, потому что иначе квадрата простого числа не получится.
Чтобы произведение двух натуральных чисел равнялось квадрату простого числа, или один из множителей должен быть равен 1, или множители должны быть равны друг другу. Потому что, к примеру 289 можно получить только при умножении 289 на 1 или при умножении 17 на 17, иных делителей у этого числа нет, так как это квадрат простого числа.
Предположим, один из множителей равен 1. Это может быть только первый множитель, потому что n+4 равно минимум 5.
Приравняем первый множитель к единице:
Предположим, множители равны друг другу:
Значит, все натуральные n, для которых квадрат простого числа, это n = 5 и n = 13.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ: 5, 13.
Объяснение:
Преобразуем левую часть равенства, разложив квадратный трехчлен на множители по формуле
, где x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения.
Для этого найдем корни:
Отсюда имеем:
"Внесем" число 2 в первую скобку:
Число во второй скобке явно натуральное, потому что n может быть минимально единицей, а значит во вторых скобках стоит минимум 5.
Значит, и в первой скобке число натуральное, потому что иначе квадрата простого числа не получится.
Чтобы произведение двух натуральных чисел равнялось квадрату простого числа, или один из множителей должен быть равен 1, или множители должны быть равны друг другу. Потому что, к примеру 289 можно получить только при умножении 289 на 1 или при умножении 17 на 17, иных делителей у этого числа нет, так как это квадрат простого числа.
Приравняем первый множитель к единице:
Значит, все натуральные n, для которых
квадрат простого числа, это n = 5 и n = 13.