Ответ:       Н = √4,5 .  

Объяснение:

S сф = 4πR² ;      1/2 S сф =27π ;     2πR² = 27π ;  R² = 27π/ 2π = 13,5 ;

R сф = √13,5 ;

шуканий циліндр має  певну висоту  Н і радіус основи R₁ . Якщо твірна

циліндра АА₁ , то АА₁ = Н   і   R² = R₁² + H² ;  R₁² = R² - H² = 13,5 - H² ;

Об"єм циліндра  V = πR₁²H = π ( 13,5 - H²)*H = 13,5πH - πH³ ;

для зручності позначимо  Н = х , тоді

V ( x ) = 13,5πx - πx³ ;    xЄ [ 0 ; √13,5 ] ;

дослідимо функцію   V ( x ) :

V '( x ) = 13,5π - 3πx² = 3π (4,5 - x² ) ;

V '( x ) = 0 ;           3π (4,5 - x² ) = 0 ;    ----->   x² = 4,5 ;   x = √4,5   (  x > 0 ) .

V '( 1 ) > 0 ;         V '( 3 ) < 0 ;  тому х = Н = √4,5 - максимум .

отже , висота найбільшоб"ємного впис . циліндра  Н = √4,5 .