Найти частное решение дифференциального уравнения y'cosx+ysinx=-2, удовлетворяющее начальному условию: y(π)=-2
Answers & Comments
phis321
Для начала решим уравнение без правой части. y'*cos(x) + y*sin(x) = 0 (dy/dx)*cos(x) = -y*sin(x) dy/y = -tg(x)dx ∫dy/y = -∫sin(x)dx/cos(x) ∫dy/y = ∫d(cos(x))/cos(x) ln|y| = ln|cos(x)| + ln|C| y = C*cos(x) Для решения уравнения с правой частью воспользуемся методом вариации постоянных. y = C(x)*cos(x) y' = C'(x)*cos(x) - C(x)*sin(x) C'(x)*cos²(x)-C(x)*sin(x)*cos(x) + C(x)*sin(x)*cos(x) = -2 C'(x)*cos²(x) = -2 C'(x) = -2/cos²(x) C(x) = -2tg(x) + C y = -2tg(x)*cos(x) + C*cos(x) y= -2sin(x)+C*cos(x)
если y(pi) = -2, то -2 = -2* sin(pi) + C*cos(pi) -2 = -2*0+C*(-1) C=2 y = -2sin(x)+2cos(x)
Answers & Comments
y'*cos(x) + y*sin(x) = 0
(dy/dx)*cos(x) = -y*sin(x)
dy/y = -tg(x)dx
∫dy/y = -∫sin(x)dx/cos(x)
∫dy/y = ∫d(cos(x))/cos(x)
ln|y| = ln|cos(x)| + ln|C|
y = C*cos(x)
Для решения уравнения с правой частью воспользуемся методом вариации постоянных.
y = C(x)*cos(x)
y' = C'(x)*cos(x) - C(x)*sin(x)
C'(x)*cos²(x)-C(x)*sin(x)*cos(x) + C(x)*sin(x)*cos(x) = -2
C'(x)*cos²(x) = -2
C'(x) = -2/cos²(x)
C(x) = -2tg(x) + C
y = -2tg(x)*cos(x) + C*cos(x)
y= -2sin(x)+C*cos(x)
если y(pi) = -2, то
-2 = -2* sin(pi) + C*cos(pi)
-2 = -2*0+C*(-1)
C=2
y = -2sin(x)+2cos(x)