Найти единичный вектор р, одновременно перпендикулярный к вектору а(14,6,8) и к оси абсцисс
Answers & Comments
bezrukoff888
Вектор а = {14, 6, 8} Пусть вектор Ox - базисный вектор по оси абсцисс Тогда координаты вектора Ох = {1, 0, 0} Пусть вектор p = {x, y, z}
Координаты вектора а имеем право сократить на одно число, так как нам не важна длина векторов, исключительно их взаимное расположение. Сократим на 2 а = {7, 3, 4}
Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Составим систему: p * Ox = 0 p * a = 0
Распишем скалярные произведения через координаты: x*1 + y*0 + z*0 = 0 x*7 + y*3 + z*4 = 0
Из первого уравнения сразу же находим x=0. Подставим это во второе уравнение: 0*7 + 3y + 4z = 0 3y + 4z = 0 z = -3/4y
Также не забываем что вектор должен быть единичным, то есть длина вектора равна 1 (корень сразу сократил, т.к. равенство единице): x^2 + y^2 + z^2 = 1
Получили два уравнения z = -3/4y y^2 + z^2 = 1
Подставляем 1 во второе: y^2 + 9/16y^2 = 1 25/16y^2 = 1 y^2 = 16/25 y = 4/5; y = -4/5 z = - 3/5; z = 3/5
Получили два вектора: p1 = {0, 0.8, -0.6} p2 = {0, -0.8, 0.6}
Можно заметить, что эти два вектора противоположно направлены, то есть по сути они лежат на одной прямой, перпендикулярной и вектор а, и оси абсцисс.
Answers & Comments
Пусть вектор Ox - базисный вектор по оси абсцисс
Тогда координаты вектора Ох = {1, 0, 0}
Пусть вектор p = {x, y, z}
Координаты вектора а имеем право сократить на одно число, так как нам не важна длина векторов, исключительно их взаимное расположение. Сократим на 2
а = {7, 3, 4}
Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Составим систему:
p * Ox = 0
p * a = 0
Распишем скалярные произведения через координаты:
x*1 + y*0 + z*0 = 0
x*7 + y*3 + z*4 = 0
Из первого уравнения сразу же находим x=0. Подставим это во второе уравнение:
0*7 + 3y + 4z = 0
3y + 4z = 0
z = -3/4y
Также не забываем что вектор должен быть единичным, то есть длина вектора равна 1 (корень сразу сократил, т.к. равенство единице):
x^2 + y^2 + z^2 = 1
Получили два уравнения
z = -3/4y
y^2 + z^2 = 1
Подставляем 1 во второе:
y^2 + 9/16y^2 = 1
25/16y^2 = 1
y^2 = 16/25
y = 4/5; y = -4/5
z = - 3/5; z = 3/5
Получили два вектора:
p1 = {0, 0.8, -0.6}
p2 = {0, -0.8, 0.6}
Можно заметить, что эти два вектора противоположно направлены, то есть по сути они лежат на одной прямой, перпендикулярной и вектор а, и оси абсцисс.
Ответ: {0, 0.8, -0.6} или {0, -0.8, 0.6}