Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных...

July 2022 1 6 Report

Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Answers & Comments

Voxman $x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0$

Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:

$(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\\\
= x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\\\
-3 = a_1 + a_2 + a_3\\\\
-6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\\\
-a = a_1*a_2*a_3$

Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:

$a_1, \ a_2 = a_1*q, \ a_3 = a_2*q = a_1*q^2$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:

$-3 = a_1(1 + q + q^2)\\\\
-6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\\\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\\\
\frac{-6}{-3} = \frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\\\
2 = a_1q = a_2\\\\
a_1 = \frac{2}{q}, \ \frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\\\
2 + 2q + 2q^2 = -3q\\\\
2q^2 + 5q + 2 = 0\\\\
D = 25 - 16 = 9\\\\
q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\\\\
q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{8}{4} = -2$

Проверим для $q = -0.5$ :

$a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4 , a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\\\
a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2 - 1 = -3\\\\
a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\\\= -8 + 4 - 2 = -6$

Проверим для $q = -2$ :

$a_2 = 2, \ a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1 , a_3 = a_2*(-2) = -4\\\\
a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2 - 4 = -3\\\\
a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\\\ = -2 + 4 - 8 = -6$

$\mathbb{OTBET:} \ a_1 = -1, \ a_2 = 2, \ a_3 = -4, \ a = -8.$
Само уравнение принимает вид $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0$ .

4 votes Thanks 9

Voxman Если будут вопросы по решению, задавайте. Если не видны некоторые формулы, обновите страницу.

vfhbyf1 Спасибо большое. Вроде пока все понятно!

Answers & Comments

rebyat pomogite dopisat uravnenie balans ya sama sdelayu r2o3hclo3hcldd6a37ecb8472d55d74ac7d22e856422 44460

pomogite pozhalujsta sdelat zadanie po grafiku

na ploskosti sushestvuet tochka ravnoudalennaya ot vseh storon trapeciinajti radiu

rossiya zanimaet pervoe mesto v mire po ploshadi territorii polovina etoj ploshad

pomogite reshit sistemu pozhalujstaa477d59430cdfa18d64fee13b8a1ce67 21674

formula dipropilovogo efira

kakie ponyatiya vvel v biologiyu aristotel

steklyannaya trubka zapayannaya s odnogo konca nahodyas v gorizontalnom polozheni

pomogite pozhalujsta ochen srochnona ris predstavlen grafik zavisimosti izmeneni

pomogite pozhalujstav sosude nahoditsya 2 mol geliya chto proizojdet s davleniem

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social