По условию AB=BC=CD, углы A и D известны (равны 110 и 50 градусов соответственно). Угадываем ответ C=140 градусов (предполагаем, что этот четырехугольник получился из равностороннего треугольника ABC и равнобедренного треугольника ACD (то есть предполагаем, что AC=AB=BC=CD), 140 градусов получается как сумма угла BCA в 60 градусов и угла ACD в 180-50-50=80 градусов.
Остается доказать, что других решений нет. Это можно сделать с помощью диких вычислений, но мы постараемся избежать их. Пусть на плоскости нарисован угаданный четырехугольник. Будем считать, что сторона AB жестко закреплена, а сторона DC фиксированной длины может перемещаться, не меняя угла наклона к прямой AD, причем точка D скользит по лучу AD. Мы видим, что с перемещением стороны DC слева направо сторона BC монотонно растет и поэтому может быть равна AB и DC только при одном положении точки D на оси AD - том, которое мы угадали в начале решения.
Замечание. Второе решение на самом деле существует, но оно получается, если точка D окажется левее точки A (с точки зрения чертежа это абсурд), тогда угол C будет равен 100 градусам (60 из равностороннего треугольника DCBA и 40 из равнобедренного треугольника DBA с углом при вершине в 180-70-70=40 градусов).
Answers & Comments
Verified answer
По условию AB=BC=CD, углы A и D известны (равны 110 и 50 градусов соответственно). Угадываем ответ C=140 градусов (предполагаем, что этот четырехугольник получился из равностороннего треугольника ABC и равнобедренного треугольника ACD (то есть предполагаем, что AC=AB=BC=CD), 140 градусов получается как сумма угла BCA в 60 градусов и угла ACD в 180-50-50=80 градусов.
Остается доказать, что других решений нет. Это можно сделать с помощью диких вычислений, но мы постараемся избежать их. Пусть на плоскости нарисован угаданный четырехугольник. Будем считать, что сторона AB жестко закреплена, а сторона DC фиксированной длины может перемещаться, не меняя угла наклона к прямой AD, причем точка D скользит по лучу AD. Мы видим, что с перемещением стороны DC слева направо сторона BC монотонно растет и поэтому может быть равна AB и DC только при одном положении точки D на оси AD - том, которое мы угадали в начале решения.
Замечание. Второе решение на самом деле существует, но оно получается, если точка D окажется левее точки A (с точки зрения чертежа это абсурд), тогда угол C будет равен 100 градусам (60 из равностороннего треугольника DCBA и 40 из равнобедренного треугольника DBA с углом при вершине в 180-70-70=40 градусов).
Ответ: x=140°.