Verified answer

Площадь "основания" (примем какую-то грань) равен a^2*корень(3)/4;

Радиус описанной окружности равен а/корень(3), этот радиус является проекцией бокового ребра на основание.

Поэтому высота тетраэдра равна корень(а^2 - a^2/3) = a*корень(2/3);

Объем тетраэдра равен

(a^2*корень(3)/4)*(a*корень(2/3))/3 = a^3*корень(2)/12 = 18*корень(2);