Verified answer

Разделим обе части уравнения на х:

y`+(2/x)y=-3y^2     (*)

1) Решаем однородное:

y`+(2/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными.

dy/y=-2dx/x

ln|y|=-2ln|x|+lnC

y=C/x²

Применяем метод вариации

y(x)=C(x)/x²

y`=(C`(x)·x²-2x·C(x))/x⁴

Подставляем в (*)

(C`(x)·x²-2x·C(x))/x⁴ + 2C(x)/x³=-3(C(x)/x²)²;

С`(x)/x^2=-3(C(x)/x²)²;

Уравнение с разделяющимися переменными:

dC(x)/C²(x)=-3dx/x²

-1/C(x) =-(-3/x)+c

C(x)=-x/(3+xc)

y(x)=-x/(x²·(3+xc))

y(x)=-1/(x·(xc+3))

y(1)=1 ⇒ 1 = - 1/(c+3)  ⇒ c+3=-1 ⇒ c=4

y(x)=-1/(x·(4x+3))-ответ.