Заметим, что система переходит в себя при сдвиге x на π, значит, решение – периодическая по x функция с периодом, кратным π. Мысленно разложим это решение в ряд Фурье по 2x. Разные слагаемые в этом ряду ортогональны; поскольку в системе есть только слагаемые, пропорциональные 1 и cos 2x, то в решении все остальные коэффициенты будут тождественно равны нулю.
Будем искать решение в виде u(x, t) = A(t) + B(t) cos 2x. Подставляем:
Приравнивая скобки к нулю, получаем две задачи Коши на коэффициенты A и B.
1) A(t):
2) B(t):
Общее решение уравнения B(t) = С cos 4t + D sin 4t + 1/32. Подставив решение в начальные условия, находим, что C = -(1/32 + 1/2) = -17/32; D = 1/2 : 4 = 1/8.
Answers & Comments
Verified answer
Попробуем угадать вид решения.
Заметим, что система переходит в себя при сдвиге x на π, значит, решение – периодическая по x функция с периодом, кратным π. Мысленно разложим это решение в ряд Фурье по 2x. Разные слагаемые в этом ряду ортогональны; поскольку в системе есть только слагаемые, пропорциональные 1 и cos 2x, то в решении все остальные коэффициенты будут тождественно равны нулю.
Будем искать решение в виде u(x, t) = A(t) + B(t) cos 2x. Подставляем:
Приравнивая скобки к нулю, получаем две задачи Коши на коэффициенты A и B.
1) A(t):
2) B(t):
Общее решение уравнения B(t) = С cos 4t + D sin 4t + 1/32. Подставив решение в начальные условия, находим, что C = -(1/32 + 1/2) = -17/32; D = 1/2 : 4 = 1/8.
Итак, B(t) выглядит так:
Окончательно
Проверка: