найти все натуральные значения n удовлетворяющие уравнению 2022*[n*sqr(1011^2+1)]=n*[2022*sqr(1011^2+1)] , где [х] - наибольшее целое числоне превосходящее числа. . Created by vladimirkovkov1977. matematika-ru

Ответ:Пошаговое объяснение:Заметим: Отсюда Но это означает, что Значит, уравнение равносильно Если решения данного уравнения существуют, то, по определению дробной части числа, верно неравенство Но для таких значений переменной верны неравенства по определению целой части числа равенство верно. Значит, все натуральные значения являются корнями данного уравнения.

найти все натуральные значения n удовлетворяющие уравнению 2022*[n*sqr(1011^2+1)...

Guerrino

Ответ:

$1;2;...;2022$

Пошаговое объяснение:

Заметим:

$1011=\sqrt{1011^2}$

Отсюда

$2022\cdot 1011$

Но это означает, что

$\left\lfloor2022\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=2022\cdot 1011$

Значит, уравнение равносильно

$2022\cdot\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 2022\cdot 1011$

$\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 1011$

Если решения данного уравнения существуют, то, по определению дробной части числа, верно неравенство

$n\cdot\sqrt{1011^2+1}-n\cdot 1011\leq 1\\ n\leq \dfrac{1}{\sqrt{1011^2+1}-1011}=\dfrac{\sqrt{1011^2+1}+1011}{1011^2+1-1011^2}=\sqrt{1011^2+1}+1011$

$n\in N\Rightarrow n\leq 2022$

Но для таких значений переменной верны неравенства

$n\cdot 1011< n\cdot\sqrt{1011^2+1}То есть [tex]\forall n\in N, n\leq 2022$ по определению целой части числа равенство $\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 1011$ верно. Значит, все натуральные значения $n\leq 2022$ являются корнями данного уравнения.

2 votes Thanks 2

Guerrino латех на этом сайте, конечно, максимально убогий...

igorShap

Verified answer

Пусть $\sqrt{1011^2+1} = 1011+r,\; 0$ . Заметим, что $1011^2+1=1011^2+2022r+r^2 \Leftrightarrow r(2022+r)=1 \Rightarrow r = \dfrac{1}{2022+r} < \dfrac{1}{2022}$ , поэтому $\left[2022\cdot \sqrt{1011^2+1}\right] = \left[2022\cdot 1011+2022r\right] = 2022\cdot 1011$ . Тем самым уравнение перепишется в виде $2022\cdot \left[n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right] = 2022\cdot 1011\cdot n \Leftrightarrow \left[n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right] = 1011\cdot n$ .

Теперь подход примерно такой же: $\left[1011n+nr\right] = 1011 n$ . Если $n\leq 2022$ , то равенство выполняется. Пусть $n\geq 2023$ . Тогда $2023r = \dfrac{2023}{2022+r}>1$ , значит, равенство выполняться уже не будет. Получаем, что решениями будут натуральные числа $n\in\overline{1,2022}$ .