Змей24

Verified answer

Выполним замену:
m = |х-7|-|х-а|

Получим обыкновенное квадратное уравнение:
m^2 - 13am + 30a^2 + 21a - 9 = 0

Решим его относительно m

D = b^2 - 4ac = (13a)^2 - 4*1*(30a^2 + 21a - 9) = 169a^2 - 120a^2 - 84a + 36 = 49a^2 - 84a + 36

Любопытно, что решив уравнение 49a^2 - 84a + 36 узнаем, что можно извлечь из дискриминанта корень, потому что a1=a2!

a1,2 = 84/98 = 42/49


49a^2 - 84a + 36 = 49(a-42/49)(a-42/49)

sqrt(D) = 7(a-42/49)

Вернемся к уравнению с m:
m^2 - 13am + 30a^2 + 21a - 9 = 0

Найдем m
m1,2 = (13a +- 7(a-42/49))/2 = (13a +- 7a -+ 42/7)/2
m1 = (20a - 6) / 2 = 10a - 3
m2 = (6a + 6)/2 = 3a + 3

То есть при
1) |х-7|-|х-а| = 10a - 3
2) |х-7|-|х-а| = 3a + 3
уравнение имеет решения

Теперь нужно рассмотреть все случаи

1.1) x >= 7, x >= a
1.2) x >= 7, x < a
1.3) x < 7, x >= a
1.4) x < 7, x < a

Случаи 2.* аналогичны.

Всего 8 случаев. Нужно раскрыть модули.

1) x >= 7, x >= a   x - 7 - x + a = a - 7
2) x >= 7, x < a     x - 7 + (x - a) = 2x - a - 7
3) x < 7, x >= a     7 - x - (x - a) = a + 7 - 2x
4) x < 7, x < a       7 - x + (x - a) = 7 - a

1) a - 7 = 10a - 3, откуда 9a = -4,                                          a = -4/9, x >= 7
2) 2x - a - 7 = 10a - 3, откуда 2x -4 = 11a, a = (2x - 4)/11
x >= 7, x < a
(2x - 4)/11 > x
2x - 4 - 11x > 0
-9x - 4 > 0 и x >=7: решений нет.
Нет x, значит и a не существует, потому что a выражается через x.

3) a + 7 - 2x = 10a - 3, откуда 9a = 10-2x, a = (10-2x)/9
x < 7, x >= a
(10-2x)/9 <= x
10-2x - 9x <= 0
10-11x <= 0 => x > 10/11
Значит, x E (10/11; 7]
Подставляем границы x в формулу выражения a через x и получаем границы a:
a E ((10-2*10/11)/9; (10-14)/9], a E [-0.41; 0.91)

4) 7 - a = 10a - 3, откуда 11a =10, a = 10/11

5) a - 7 = 3a + 3, откуда 2a = -4,                                           a = -2, x >= 7
6) 2x - a - 7 = 3a + 3, откуда 4a = 2x - 10, a = (x - 5)/2
x >= 7, x < a
(x - 5)/2 > x
x - 5 - 2x > 0
-x - 5 > 0 и x >= 7, решений нет.

7) a + 7 - 2x = 3a + 3, откуда 2a = 4-2x, a = 2-x
x < 7, x >= a
x >= 2-x
2x >= 2
x >= 1
x E [1; 7)
a E (-5; 1]

8) 7 - a = 3a + 3, откуда 4a = 4, a = 1

В случаях 1, 4, 5, 8 x может быть любым числом, которое удовлетворяет условия, при которых мы раскрывали модули.

В случаях 2, 3, 6, 7 a выражается через x, которое может быть любым.

Если я нигде не допустил ошибку, то:
1) -4/9 = -0.44...
3) a E [-0.41; 0.91)
4) a = 10/11 = 0.91
5) a = -2
7) a E (-5; 1]
8) a = 1

Ответ: a E (-5; 1] (самый широкий интервал)

Можно ли решить эту задачу более простым способом?