Найти все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетв...

720612 @720612

June 2022 1 9 Report

Найти все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0 неравенству x < -1.

Answers & Comments

MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В этой задаче есть два хороших способа к решению. Полностью аналитический и схематично-графический. Я люблю решать графически, но аналитический метод тоже покажу.

Способ 1: схематично-графический

Введем функцию $f(x)=x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1$ . Это парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим возможные расположения графика, которые удовлетворяют условию задачи (я рисовать не буду; если у вас появятся вопросы, пишите; будет время отвечу)

Опишем эти случаи:

$f(-1)$ /или/ $\left\{\begin{array}{c}D=0\\x_0$

Замечу, что в первом случае писать условие $D>0$ нет необходимости, так как, если какой-то элемент параболы ниже оси OX, то корня заведомо будет два.

Выполним необходимые вычисления:

$f(-1)=a+4$

$D=4a^2-20a$

$x_0=1-a$ , где $x_0$ - это координата вершины параболы $f(x)$ .

Перепишем случаи, опираясь на записанные выше данные:

$a+4$ /или/ $\left\{\begin{array}{c}4a^2-20a=0\\1-a$

Решая полученное, приходим к ответу:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

Способ 2: аналитический

Уравнение $x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0$ является квадратным, а значит его можно решить относительно $x$ через дискриминант, причем сразу поделим его на 4, чтобы упростить счет (можно не делить, но цифры вначале будут менее приятные):

$\dfrac{D}{4}=a^2-5a$

При $\dfrac{D}{4}>0$ (то есть, когда $a\in(-\infty;\;0)\cup(5;\;+\infty)$ ):

Выразим корни уравнения:

$\left[\begin{array}{c}x_1=1-a+\sqrt{a^2-5a}\\x_2=1-a-\sqrt{a^2-5a}\end{array}\right;$

Хорошо видно, что $x_1>x_2$ . Тогда, если $x_1$ , то $x_2$ тоже меньше минус единицы, что нас не устраивает. Поэтому здесь возможет единственный случай:

$\left\{\begin{array}{c}1-a+\sqrt{a^2-5a}\ge-1\\1-a-\sqrt{a^2-5a}$

Учитывая все выше сказанное приходим к тому, что $a\in(-\infty;\;-4)$ .

При $\dfrac{D}{4}=0$ (то есть, когда $a=0$ или $a=5$ ):

В этом случае корни совпадают, то есть $x=1-a$ . Наша задача состоит в том, чтобы подчинить его условию $x$ , что возможно, если $a>2$ . Данный случай достижим либо при $a=0$ , либо при $a=5$ . Так как $a>2$ , то подходит только $a=5$ .

Объединим найденное:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

Задание выполнено!

3 votes Thanks 5

Answers & Comments

vershinu tupogo ugla a parallelogramma abcd soedinili s tochkoj m seredinoj ego446fe2a5238b15f44e244af6aa294947 26754

mister foks dobiraetsya iz g rtishevo v s vinnovka samarskoj oblasti snachala on6a94b8fc0286a5c667fe430d7b7bfe33 52457

perimetr treugolnika avs raven 280mm storona av bolshe storony vs na 2 sm a s395b1ccf105600aaa90c4eb4946354b0 86320

pomogite pozhalujstaddd9cd9b6d2bedd0526cc78d0068cf02 27002

petya nashel fajl v odnom iz sistemnyh katalogov svoej operacionnoj sistemy on zn

pomogite s zadachkoj pliiz

tex reshite racionalnym sposobom pliz

induktivnost provodnika zavisit ot vyberi vse vernye otvety 1magnitnyh svo

Can you choose the right spelling for each poem line? So that's the end of Bett...

pomogite reshit zadachku pozhalujstad63df1f6d122d58ca80e0708b9886961 12520

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social