Verified answer

Создадим список a. В a[k] будем хранить количество различных программ, по которым Калькулятор может получить из 2 число k.

При небольших k зададим значения вручную: a[0] = a[1] = 0; a[2] = 1 (для k = 2 удобно считать, что есть одна программа - пустая).

Для k > 2 можно вычислять a[k] так: a[k] = a[k - 1] + a[k/2] * {k - полный квадрат} + a[sqrt(k)] * {k - полный квадрат}. Здесь {P} - 1, если P верно, и 0, если ложно.

По описанию программа составляется просто (версия питона 3.8, в ней появилась функция isqrt, если у вас python3, но версия меньше 3.8, можете округлить корень для ближайшего целого):

from math import isqrt

a = [0] * 39

a[2] = 1

for k in range(3, 39):

 a[k] = a[k - 1]

 if k % 2 == 0:

   a[k] += a[k // 2]

 t = isqrt(k)

 if t ** 2 == k:

   a[k] += a[t]

 print(f"{k:3} {a[k]:5}")

Программа выводит все промежуточные ответы и a[38]