Назовём натуральное число хорошим, если все цифры, входящие в его запись, повто-
ряются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). Сколько
существует шестизначных хороших чисел без нуля в записи?
ряются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). Сколько
существует шестизначных хороших чисел без нуля в записи?
Answers & Comments
Verified answer
Все шестизначные хорошие числа могут быть следующих типов:1) шесть равных цифр
2) три пары равных цифр
3) четверка равных цифр и пара равных цифр
4) две тройки равных цифр
Подсчитаем, сколько чисел получается для каждого типа:
1) цифру можно выбрать 9 способами, 9.
2) места для первой пары можно выбрать 6!/(2! 4!) способами; для второй пары 4!/(2! 2!) способов выбрать место; для третьей пары уже всё определено. Цифры для этого варианта можно выбрать 9!/(3! 6!) способами (все пары равноправны), получаем количество вариантов:
3) Место для пары выбираем 6!/(2! 4!) = 15 способами, цифру для пары 9 способами, цифру для четвёрки 8 способами, итого 15 * 9 * 8 = 1080 чисел
4) Для мест 6! / (3!)^2 = 20 способов, цифры выбираем 9! / (2! 7!) = 36 способами, итого 20 * 36 = 720 чисел.
Ответ. 9 + 7560 + 1080 + 720 = 9369 чисел.