Verified answer

Ответ: 1/x1^3 +1/x2^3=72

Уравнение с корнями противоположными квадратам данных : 4x^2+156x+9=0

Уравнение с корнями обратными данным: 3t^2-12t-2=0

Объяснение:

Пусть x1,x2-корни данного уравнения.

Составим уравнение которое  имеет корни противоположные  квадратами данного уравнения:

2x^2+12x-3=0

По теореме Виета:

x1+x2=-12/2=-6

x1*x2=-3/2

Найдем сумму квадратов его корней взятых с противоположным знаком:

-x1^2+(-x2^2)=-(x1^2+x2^2)= - ( (x1+x2)^2-2x1*x2)=-(36-(-3) )=-39

Найдем произведение квадратов корней взятых с противоположным знаком:

-(x1)^2*(-(x2)^2)=(x1*x2)^2= (-3/2)^2=9/4

По теореме обратной теореме Виета:

корни -(x1)^2 и -(x2)^2 являются корнями следующего уравнения:

x^2-(-x1^2+(-x2^2) )*x + (-(x1)^2*(-(x2)^2) )=0

x^2+39x+9/4=0

4x^2+156x+9=0

Для общего развития оставлю как находить уравнение с корнями обратными данным.

Для того чтобы составить уравнение с корнями обратными данным, нужно подставить вместо  x ,1/t

(2/t)^2 +12/t -3=0

3t^2-12t-2=0 - уравнение с корнями:

t1=1/x1 и t2=1/x3 .(Этот  простой приём справедлив для многочлена любой степени)

По теореме Виета:

t1+t2=12/3=4

t1*t2=-2/3

1/x1^3 + 1/x2^3=

(1/x1)^3+(1/x2)^3=t1^3+t2^3=

(t1+t2)*(t1^2-t1*t2+t2^2)=

(t1+t2)*( (t1+t2)^2-3t1*t2)=4*(16+2)=72