iosiffinikov Обозначим у-4=z                                                                                      
Первое уравнение -это уравнение окружности радиуса 4 с центром в начале координат х, z                                                                                      
x^2+z^2=4^2                                                                                                           
второе уравнение:sqrt(x^2+(z-8)^2)+sqrt((x-a)^2+(z+4)^2)=sqrt(a^2+144)
Второе уравнение : сумма растояний от точки окружности до точек с координатами А=(0,8) и В=(а,-4) равно  sqrt(a^2+144)                                    
Но расстояние между этими точками равно sqrt(а^2+(8+4)^2)=sqrt(a^2+144).                                                                                                                      
 Значит решение системы : пересечение прямой проходящей через А и В с окружностью.                                                                                                      
Уравнение прямой: z=12х/а+8  и при этом а не равно 0. Если а=0 , то решений точно 2, так что этот случай больше не рассматриваем.
Чтобы решение было единственным прямая должна касаться окружности.                                                                                                                                  
Подставим z в уравнение окружности.x^2+(12x/a+8)^2=16                                                                                        
x^2+144x^2/a^2+192x/a+64-16=0                                                                         
x^2(144+a^2)/a^2+192x/a+48=0                                                                           
Вообще-то , чтобы решение было единственным необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен 0.                                                        
Однако, еще поупрощаем:                                                                          
144+a^2=с                                                                                                               
x^2+192x*(a/с)+48*a^2/с=0                                                                           
(х+96(а/с))^2=96^2*(a/c)^2-48(a^2/c)                                                                                                                                            Решение единственно, если справа выражение равно 0                                     
96^2*(a/c)^2-48(a^2/c)=0                                                                                      
96^2*(a/c)=48a                                                                                                        
    (1/c)=1/192                                                                                         
192=144+a^2                                                                        
a^2 =48                                                                           
                                                                                         
Два значения а:                                                                                         

a=4* sqrt(3)                                                                  
или                                                                                                       
а=-4*sqrt(3)                                                                                   
Два значения а:                                                                                          
a=4* sqrt(3)                                                                                                                       или                                                                                                                    а=-4*sqrt(3)  



Примечание:                                                                                                                
Четность /нечетность можно привести , как соображение, что две симметричных относительно оси ординат прямые могут быть касательными к нашей окружности, но как это помогает решению - не вижу.