Verified answer

29565660

Для функции у = f(x) найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку M(a,b)

12. 2) f(x) = 2sin⁻²x -x ;  x ∈(0 ; π/2]  ,   M(π/4 ; - π²/32)      

F(x) = ∫(2sin⁻²x -x) )dx =2∫(1/sin²x)dx - ∫x dx = -2ctgx - x²/2 +C.       

M( π/4 ; - π²/32)  ∈ F(x)  ⇒ -  π²/32 = -2ctg(π/4) - ( π/4)² /2 + C  ⇒ C =2 .      

13.  2) Проверьте, является ли функция y =F(x) первообразной для функции y =f(x) на указанном промежутке :

F(x) = (2x -5) /(3+5x)   f(x) = - 31/(3+5x)² , x ∈ (-∞; 3/5) ∪(3/5 ; +∞ ).

решение:( F(x) ) ' =( (2x -5)/(3+5x) ) '=[(2x-5) ' *(3+5x) - (2x -5)*(3+5x) ')] /(3+5x)²=

(2(3+5x) -(2x-5)*5 ) /(3+5x)² =(6+10x -10x +25) / (3+5x)² =31/(3+5x)² =f(x) →ДА.  

* * *  ОДЗ  +5x ≠0 ⇒x ≠ -3/5 , т.е.x ∈ (-∞; 3/5) ∪(3/5 ; +∞ ). * * *