artalex74
А) Скорее всего, на чертеже опечатка, и надо доказать, что ∆AQR=∆BQP. 1. Т.к. по условию АС=ВС, то ∆АВС-равнобедренный с основанием АВ. Т.к. по условию AQ=BQ, то СQ - медиана. Отсюда по свойствам равнобедренного треугольника CQ - биссектриса угла С и высота. Следовательно, ∠АCQ=∠ВCQ. 2. Рассмотрим ∆СQR и ∆СQP. У них CQ-общая, ∠RCQ=∠PCQ (по доказанному), ∠CQP=∠CQR (по условию). Значит, ∆СQR = ∆СQP (по стороне и прилежащим углам). Отсюда следует, что RQ=PQ. 3. Т.к. по доказанному CQ⊥AB, то ∠АQС=∠ВQС (смежные и прямые). Тогда ∠ВQP=∠АQR (как результаты вычитания из равных прямых углов соответствующих равных другу другу ∠CQP и ∠CQR). 4. Наконец, рассмотрим ∆АQR и ∆ВQP. У них AQ=QB (по условию), ∠ВQP=∠АQR (по доказанному), QP=QR (по доказанному). Значит, ∆AQR=∆BQP (по двум сторонам и углу между ними). Доказано.
2 votes Thanks 3
Minsk00
Б) AP=BR и OA=OB Доказать,что AR=BP Доказательство: Из равенства сторон ОА и ОВ в треугольнике АОВ -он равнобедренный с равными углами ОАВ и ОВА при основании АВ. Далее рассматриваем два треугольника АРВ и АRВ. Две стороны АР=ВR, АВ=АВ и угол между этими сторонами ОАВ=ОВА равны. Следовательно эти треугольники АРВ и АRВ равны. Из равенства треугольников следует равенство AP=BR. Все доказано.
Answers & Comments
1. Т.к. по условию АС=ВС, то ∆АВС-равнобедренный с основанием АВ.
Т.к. по условию AQ=BQ, то СQ - медиана.
Отсюда по свойствам равнобедренного треугольника CQ - биссектриса угла С и высота. Следовательно, ∠АCQ=∠ВCQ.
2. Рассмотрим ∆СQR и ∆СQP. У них CQ-общая, ∠RCQ=∠PCQ (по доказанному), ∠CQP=∠CQR (по условию). Значит, ∆СQR = ∆СQP (по стороне и прилежащим углам). Отсюда следует, что RQ=PQ.
3. Т.к. по доказанному CQ⊥AB, то ∠АQС=∠ВQС (смежные и прямые). Тогда ∠ВQP=∠АQR (как результаты вычитания из равных прямых углов соответствующих равных другу другу ∠CQP и ∠CQR).
4. Наконец, рассмотрим ∆АQR и ∆ВQP. У них AQ=QB (по условию), ∠ВQP=∠АQR (по доказанному), QP=QR (по доказанному). Значит, ∆AQR=∆BQP (по двум сторонам и углу между ними).
Доказано.
Доказать,что AR=BP
Доказательство:
Из равенства сторон ОА и ОВ в треугольнике АОВ -он равнобедренный с равными углами ОАВ и ОВА при основании АВ.
Далее рассматриваем два треугольника АРВ и АRВ.
Две стороны АР=ВR, АВ=АВ и угол между этими сторонами ОАВ=ОВА равны.
Следовательно эти треугольники АРВ и АRВ равны.
Из равенства треугольников следует равенство AP=BR.
Все доказано.