Решение многих задач математики, физики сводится к решению
алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений
является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать
уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.
Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел
недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней.
Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.
На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения
первой степени, т.е. уравнения вида A(X+B=0 (A[pic]0). Однако
алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных
корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость
решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных
чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел.
Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое
алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными
коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных
корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять
множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые
числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют
множеством комплексных чисел.
Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа.
Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет
корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное
число, такое, что i 2= –1.
Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и
умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы
комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел
A и B выражение A+B(i можно считать записью комплексного числа в общем
виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду
выражения A+B(i.
Комплексными числами называют выражения вида A+B(i, где A и B
–действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и
обозначают буквой Z.
Число A называется действительной частью комплексного числа A+B(i,
а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа 2+3(i равна 2, а
мнимая равна 3.
Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел
понятие равенства.
Два комплексных числа A+B(i и C+D(i называются равными тогда и только
тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.