Verified answer

1) Так как в задании не указано конкретное ребро, то приводим расчёт длин всех рёбер.

Например, АВ = √((хВ - хА)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²).

Остальные аналогично.

Векторы  Δx  Δy  Δz  Сум.квадр.  Длины

      АВ  4   -6    4     68       8,246211251

      ВС 0    5   -2     29      5,385164807

      АС 4   -1   2     21      4,582575695

     АД 3    2    7    62      7,874007874

    ВД -1   8    3     74      8,602325267

    СД -1   3   5     35      5,916079783.

2) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0  

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0    y - 7       z - 1

4 - 0 1 - 7        5 - 1

4 - 0 6 - 7       3 - 1

 = 0

x - 0       y - 7     z - 1

4      -6      4

4       -1      2

 = 0

(x - 0)  -6·2 - 4·(-1)  -  (y - 4)·2 - 4·4  +  (z - 4)·(-1) - (-6)·4  = 0,

(-8) x - 0  + 8 y - 7  + 20 z - 1  = 0,

 - 8x + 8y + 20z - 76 = 0,    разделим на (-4),

2x - 2y - 5z + 19 = 0.

3) Прямая, проходящая через точку Д и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

(x -3)/2 = (y - 9)/(-2) = (z - 8)/(-5).

4) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения AB x AC:

Векторное произведение:

i j k

4 -6 4

4 -1 2   =

=i((-6)·2-(-1)·4) - j(4·2-4·4) + k(4·(-1)-4·(-6)) = -8i + 8j + 20k

S = (1/2)√((-8)² + 8² + 20²) = (1/2)√528 ≈ 11,489.

5) V = (1/6)*(AB x AC) * AD.

Определитель матрицы равен:

∆ = 4*((-1)*7-2*2)-4*((-6)*7-2*4)+3*((-6)*2-(-1)*4) = 132.

Тогда V = 132/6 = 22 куб.ед.