Verified answer

4. Даны координаты точек: A1(7; 2; 4), A(7; -1; -2), A3(3; 3; 1), A4(-4; 2; 1).

а) вычислить объём тетраэдра A1 A2 A3 A4.

Находим координаты векторов:

A1 A2  = (0; -3; -6),

A1 A3 = (-4; 1; -3).

A1 A4 = (-11; 0; -3).

Находим векторное произведение (A1 A2) х A1 A3).

Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}      Подставив данные, получаем:                    x   y    z

   (A1 A2) х A1 A3) =  15 24 -12.

Теперь определяем смешанное произведение векторов:

(A1 A2) х A1 A3) х (A1 A4) = abs(a{x1, y1, z1} ; b{x2, y2, z2} ; c{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.

(A1 A2) х A1 A3) х (A1 A4) = |(15*(-11) + (24*0+ (-12)*(-3))| = |-165 + 0 + 36| = 129.    

Объём пирамиды равен (1/6)*129 = 21,5 куб.ед.

б) составить уравнение плоскости A1 A2 A3.

Если вектор N(A1 А2)  - вектор-нормаль плоскости, а точка M

0(x0; y0; z0) - лежит на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по формуле:  

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Т.к. векторное произведение - это вектор ортогональный векторам в произведении, то в качестве вектор-нормали плоскости можно взять векторное произведение любых неколлинеарных векторов лежащих на плоскости. Возьмём  вектор А1А2, который уже определён.

В качестве точки лежащей на плоскости можно взять любую из трех данных точек. Возьмём точку A1(7;  2;  4).

Подставим в формулу найденные числа и раскроем скобки:

15(x  − 7)  + 24(y  −  2)  −  12(z −  4)  = 0.

15x  +  24y  − 12z  −105 =  0    или, сократив на 3, получаем:

5x  + 8y  −  4z −  35  =  0.

в) составить уравнение прямой A3(3; 3; 1), A4(-4; 2; 1).

(x - 3)/(-7) = (y - 3)/(-1) = (z - 1)/0 = 0. Это каноническое уравнение.

Параметрическое уравнение прямой:  

x=3-7t  

y=3-t  

z=1+0t.

5. Назвать и построить кривую: 9x² - 4y² + 54x + 8y + 41 = 0.

Это уравнение гиперболы. Детали и график приведены в приложении.